действие циклической группы в векторном пространстве

[pon4ik]

Вроде бы верно, что циклическая группа не может свободно действовать в векторном пространстве.

Хотелось бы увидеть доказательство.

Это, конечно, топологический факт. Доказательство обещает быть трудным.

Предположим дополнительно, что наше векторное пространство снабжено метрикой с неположительной кривизной по всем двумерным направлениям, а группа действует изометриями.
Можно ли просто объяснить почему такого не бывает?

[arseniiv]

pon4ik в сообщении #1020075 писал(а):

Вроде бы верно, что циклическая группа не может свободно действовать в векторном пространстве.

А почему именно векторном пространстве? Действие должно быть с ним совместимо? Иначе сразу видно, что для циклической группы порядка больше количества элементов в векторном пространстве (над конечным полем) действие никак не может быть свободным — не хватит разных векторов.

[pon4ik]

arseniiv в сообщении #1020086 писал(а):

pon4ik в сообщении #1020075 писал(а):

Вроде бы верно, что циклическая группа не может свободно действовать в векторном пространстве.

А почему именно векторном пространстве? Действие должно быть с ним совместимо? Иначе сразу видно, что для циклической группы порядка больше количества элементов в векторном пространстве (над конечным полем) действие никак не может быть свободным — не хватит разных векторов.

Нет, действие не предполагается линейным. И метрика не предполагается постоянной. Мое поле - поле вещественных чисел.

[Xaositect]

$\mathbb{Z}$ действует на $\mathbb{R}$ параллельными переносами. Или имеется в виду конечная циклическая группа?

[g______d]

Hatcher, Algebraic Topology

1. Если $G$ действует свободно на стягиваемом CW-комплексе $S$, то $S/G$ -- пространство Эйленберга-Маклейна $K(G,1)$. См. начало раздела 1.B. У Вас $S=\mathbb R^n$.

2. Proposition 2.45: Если $K(G,1)$ какой-то группы имеет конечную размерность (как CW-комплекс), то группа не имеет кручения (т. е. не имеет циклических подгрупп). У Вас факторпространство является конечным CW-комплексом.

Нашёл здесь: http://math.stackexchange.com/questions ... -a-kz-nz-1

[pon4ik]

Xaositect в сообщении #1020310 писал(а):

$\mathbb{Z}$ действует на $\mathbb{R}$ параллельными переносами. Или имеется в виду конечная циклическая группа?

Да, конечно. Имелась в виду конечная группа.