Формулы AlexSam

[AlexSam]

Через суммы записать не смог, но и так понятно: n стремиться к бесконечности, $t\geqslant0$, $k>0$

$$\frac{C_n^t+m\,C_n^{k+t}+{m}^{2}\,C_n^{2k+t}+{m}^{3}\,C_n^{3k+t}+\ldots}{C_n^{t+1}+m\,C_n^{k+t+1}+{m}^{2}\,C_n^{2k+t+1}+{m}^{3}\,C_n^{3k+t+1}+\ldots}=\sqrt[k]{m}$$

Deggial: выделено отсюда

[whitefox]

(Оффтоп)

AlexSam в сообщении #1019735 писал(а):

Через суммы записать не смог

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty}m^iC_n^{ik+t}}{\sum\limits_{i=0}^{\infty}m^iC_n^{ik+t+1}}=\sqrt[k]m\;,$ где $t\geqslant0,k>0$ и, по определению, $C_n^m=0$ при $m>n$ $

Не так?

[maxal]

AlexSam в сообщении #1019735 писал(а):

Через суммы записать не смог, но и так понятно: n стремиться к бесконечности, $t\geqslant0$, $k>0$

$$\frac{C_n^t+m\,C_n^{k+t}+{m}^{2}\,C_n^{2k+t}+{m}^{3}\,C_n^{3k+t}+\ldots}{C_n^{t+1}+m\,C_n^{k+t+1}+{m}^{2}\,C_n^{2k+t+1}+{m}^{3}\,C_n^{3k+t+1}+\ldots}=\sqrt[k]{m}$$

Скорее удивительно, что числитель и знаменатель это дроби можно выразить в замкнутом виде, а предел в этом случае является всего лишь тривиальным следствием.
См. Мультисекция ряда

[AlexSam]

Для меня было интересно, что выражение:

$\\{C_n^0+m\,C_n^{k}+{m}^{2}\,C_n^{2k}+{m}^{3}\,C_n^{3k}+\ldots}$

дает члены последовательностей в которых $\\{a\,\left( n\right) }/{a\,\left( n-1\right)}$ стремиться к $ \sqrt[k]{m}+1$

[AlexSam]

Решения обобщенного уравнения Пелля: $A\,{x}^{2}+B={y}^{2} $

$$x=\sum_{k=0}^{n}{a}^{n-k}\,{b}^{k}\,{m}^{\mathrm{ceiling}\left( \frac{k}{2}\right) }\,\begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix}\,\left( \left( \mathrm{ceiling}\left( \frac{k+1}{2}\right) -\mathrm{floor}\left( \frac{k+1}{2}\right) \right) \,v+\left( \mathrm{ceiling}\left( \frac{k}{2}\right) -\mathrm{floor}\left( \frac{k}{2}\right) \right) \,t\right) $$

$$y=\sum_{k=0}^{n}{a}^{n-k}\,{b}^{k}\,{m}^{\mathrm{floor}\left( \frac{k}{2}\right) }\,\begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix}\,\left( \left( \mathrm{ceiling}\left( \frac{k}{2}\right) -\mathrm{floor}\left( \frac{k}{2}\right) \right) \,v+\left( \mathrm{ceiling}\left( \frac{k+1}{2}\right) -\mathrm{floor}\left( \frac{k+1}{2}\right) \right) \,t\right) $$

где $v, t$ – тривиальные решения исходного уравнения, $bm, a$ – минимальное решение
классического уравнения Пелля ($B = 1$), $m = 1/A$.

[ex-math]

AlexSam
Можно чуть подробнее? Откуда такие формулы?
С учетом того, что решений может не быть вовсе, смотрится довольно странно.

[AlexSam]

ex-math
Если решать уравнение: ${x}^{2}-m=0$ через систему реккурентных последовательностей

вот так:$$ \lim_{n\to \infty }\frac{\mathrm{F_{1}}\left( n\right) }{\mathrm{F_{2}}\left( n\right) }=\sqrt{m}$

где $\mathrm{F_{1}}\left( n\right) =b\,m\,\mathrm{F_{2}}\left( n-1\right) +a\,\mathrm{F_{1}}\left( n-1\right) $, $\mathrm{F_{2}}\left( n\right) =a\,\mathrm{F_{2}}\left( n-1\right) +b\,\mathrm{F_{1}}\left( n-1\right) $

далее $\mathrm{F_{1}}\left( 0\right)=v$, $\mathrm{F_{2}}\left( 0\right)=t$, $\mathrm{F_{1}}\left( 1\right) =a\,v+b\,m\,t$, $\mathrm{F_{2}}\left( 1\right) =b\,v+a\,t$ и т. д.

По индукции приходим к этим формулам.
Про решение полиномов писал здесь: http://dxdy.ru/topic87105.html

[nnosipov]

AlexSam в сообщении #1047426 писал(а):

где $v, t$ – тривиальные решения исходного уравнения

Тривиальные --- это какие?

[AlexSam]

Некоторые решения уравнений n-ой степени в радикалах получаются из
характеристического многочлена матрицы,

для $n=5$:

$\begin{pmatrix}a & g\,m & d\,m & c\,m & b\,m\cr b & a & g\,m & d\,m & c\,m\cr c & b & a & g\,m & d\,m\cr d & c & b & a & g\,m\cr g & d & c & b & a\end{pmatrix}$

$x=g\,{m}^{\frac{4}{5}}+d\,{m}^{\frac{3}{5}}+c\,{m}^{\frac{2}{5}}+b\,{m}^{\frac{1}{5}}+a$

для $n=6$:

$\begin{pmatrix}a & h\,m & g\,m & d\,m & c\,m & b\,m\cr b & a & h\,m & g\,m & d\,m & c\,m\cr c & b & a & h\,m & g\,m & d\,m\cr d & c & b & a & h\,m & g\,m\cr g & d & c & b & a & h\,m\cr h & g & d & c & b & a\end{pmatrix}$

${x}_{1}=h\,{m}^{\frac{5}{6}}+g\,{m}^{\frac{2}{3}}+d\,\sqrt{m}+c\,{m}^{\frac{1}{3}}+b\,{m}^{\frac{1}{6}}+a$

${x}_{2}=-h\,{m}^{\frac{5}{6}}+g\,{m}^{\frac{2}{3}}-d\,\sqrt{m}+c\,{m}^{\frac{1}{3}}-b\,{m}^{\frac{1}{6}}+a$

[Deggial]

AlexSam, ответьте на вопросы ЗУ: дайте ссылки на формулы или их доказательства, в противном случае тема по всем правилам поедет в Карантин.

[AlexSam]

Все формулы выводятся из темы: http://dxdy.ru/topic87105.html.
Доказать не могу - не математик.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: утверждения не доказаны

AlexSam
Приведите тему в соответствии с требованиями дискуссионного раздела: все утверждения должны быть доказаны.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.