Функан. Сильная сходимость. Матрица Грама.

[Dimitrij]

У меня есть следующая задачка:
a) Пусть $ H $ --- гильбертово пространство, $ T: H \to H $ --- унитарный оператор. Для вектора $ x_0 \in H $, мы предполагаем, что $ x_j: = T^j x_0, j = 0, -1, + 1, -2, + 2 ... $ предположим, что $ \|x_0\| = 1 $ и $ \|<x_0, x_j>\|\le 4^{- | j |} $ для всех $ j = 1, 2, 3 ... $.
Докажите, что для любой последовательности $ a = {(a_j)}_{j =-\infty}^{\infty} \in l^2 $
    
$S(a)=\sum_{j = -\infty}^{\infty} a_j x_j$
    
сильно сходится в $ H $ (т.е. сходится последовательность его частичных сумм от $ -N $ до $ N $), и мы имеем оценку вида
    
$C_1 \|a \|_{l^ 2} \le \|S (a)\|_H \le C_2 \|a\|_{l ^ 2}$
    
    
с некоторыми постоянными $ C_1, C_2 $, не зависящим от $ a \in l^2 $.
    
б) Проверьте, что для достаточно больших $ C> 0 $ оценки из предыдущего пункта будут выполнены для системы функций $x_j(t) = \exp{\left(-\left(t-C\cdot j\right)^2\right)} \in L^2 (\mathbb{R}), t \in \mathbb{R}, j = 0, +1, -1, +2, -2, ... $, однако эта система не будет ортогональной"
    
Я попробовал взять эту сумму и скалярно перемножить с $ x_0 $, но это оказалось не совсем то, что нужно.
Я посмотрел на то, сходится ли это слабо?

$\lim_{N \to \infty}\left<S_N(a),x_0\right> =\|a\|_{l^2} \sum_{j={-N}}^{N}\left<x_j,x_0\right> = \sqrt{2}\left(1+\frac{1}{16} +\cdots+\frac{1}{16^N}\right)^{\frac{1}{2}} \|a\|_{l^2}$

Получается, что слабо сходится. Сильно, это значит по норме. Но по норме, как-то не очень понятно как действовать. $\|S(a)\| \le \|\sum_{j=-N}^{N}T^jx_0\| \|a\|_{l^2}$. А что делать с этой суммой непонятно.
Еще я знаю, что такое матрица Грама. Ну это когда есть какая-то система векторов в пространстве, которая порождает какое-то подпространство. Так вот, матрица Грама, это матрицы элементы которой есть попарно скалярно перемноженные элементы этой системы. Она вылазит из задачи, что если вот в этом подпространстве у меня есть какой-то элемент, и я знаю, чему равны скалярные произведения этого элемента с каждым элементом из системы, хочу найти его разложение.Эта задача однозначно разрешима, тогда и только тогда, когда элементы системы векторов лин. независимы.

Так вот, моя сумма, очень похожа на это разложение, а элементы $x_j$ это система векторов.
Каким образом это можно применить к моей задаче?
Какие еще умные слова нужно знать? Спасибо за то, что прочитали мою задачу и за помощь.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- тщательно отредактируйте формулы, уберите оттуда кириллицу,
- скобки у скалярного произведения \langle, \rangle
- приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Dimitrij]

Да, я тут додумался расписать такую штуку:

$\left \|\sum_{k = -N}^{N} a_k x_k \right \|^2 = \left<\sum_{k = -N}^{N} a_k x_k,\sum_{i = -N}^{N} a_i x_i \right> = \left(\sum_{i=k = -N}^{N} a_k^2 \left<x_k,x_k\right> + \sum_{i \ne k = -N}^{N} a_k a_i \left<x_k,x_i\right>\right) = \left(\sum_{i=k = -N}^{N} a_k^2 \left<x_k,x_k\right> + \sum_{i \ne k = -N}^{N} a_k a_i \left<x_0,T^{i-k}x_0\right> \right) \le \left(\sum_{i=k = -N}^{N} a_k^2 + \sum_{i \ne k = -N}^{N} a_k a_i 4^{-|i-k|} \right)$

А дальше надо чего-то смотреть. Только вот чего, я без понятия.

[ewert]

$$\left\|\sum\limits_{k=n}^{n+m}a_kx_k\right\|^2=\sum\limits_{k,l=n}^{n+m}a_k\overline a_l(x_k,x_l)\leqslant\sum\limits_{k,l=n}^{n+m}|a_k|\cdot|a_l|\cdot4^{-|k-l|}.$$

Это примерно то, что Вы сделали. Т.е. всё сводится к тому, чтобы доказать равномерную (по размеру $m$) ограниченность $l_2$-нормы матрицы $G_m$ с элементами $g_{kl}=4^{-|k-l|}$. Но дело в том, что она симметрична, поэтому дело сводится к вопросу о её собственных числах. Между тем у неё к тому же ещё и сильное диагональное преобладание и, следовательно, собственное число не может быть нулём (тем более отрицательным) -- соответствующая система на собственный вектор окажется невырожденной. И положительное число, если оно достаточно большое, тоже собственным быть не может: снова появится диагональное преобладание, только с другой стороны. Вот Вам и равномерная оценка на норму $G_m$, а с ней и всё остальное.

А, да, там ещё оценка снизу нужна. Ну снизу тоже через преобладание. Короче, гарантировано $C_1=\sqrt{\frac13}$ и $C_2=\sqrt{\frac53}$.