Производная суммы функций в точке по Фихтенгольцу

[Guliashik]

В 97 пункте первого тома Фихтенгольца написано, что если $u=\varphi(x), v=\psi(x)$ в определённой точке имеют производные $u',v'$, то функция $y=u\pm v$ также имеет производную в этой точке.
Является ли это условие достаточным? Предположим, есть две функции $u,v$, определённые на $[0;1], [1;2]$ соотвественно. Пусть существует производные $u'(1),v'(1)$. Но разве существует тогда $y'(1)$, где $y=u + v$? Мне кажется, что нет, ведь $1$ для $y$ не является точкой сгущения. Где я ошибаюсь?

[Brukvalub]

Речь идет о производных во ВНУТРЕННЕЙ точке области определения обеих функций.

[Guliashik]

Brukvalub, я несколько раз уже пробегался по всем определениям и нигде не видел этого упоминания. Может невнимательно смотрел. Спасибо!

[kp9r4d]

Guliashik
А что такое сумма двух функций с разными областями определения?

[Guliashik]

kp9r4d, функция, определённая на пересечении областей.

[kp9r4d]

Guliashik
Впервые такое определение слышу, не могли бы вы дать ссылку на то, где оно упомянуто? Просто у меня есть некоторые общие соображения, почему такое определение является крайне неудачным, но я их пока придержу при себе.

[Otta]

Да тривиальные соображения против, имхо. Восстановить одно слагаемое, $v$, например, как разность суммы $u+v$ и $u$, будет весьма затруднительно.

Guliashik в сообщении #1016938 писал(а):

В 97 пункте первого тома Фихтенгольца написано, что если $u=\varphi(x), v=\psi(x)$ в определённой точке имеют производные $u',v'$, то функция $y=u\pm v$ также имеет производную в этой точке.

По теме: производная определяется локально, для определения производной в точке, исходная функция должна быть определена в окрестности этой точки. Поэтому если писать все, то результат выглядит так: пусть есть две функции $U(a)\to \mathbb R$, дифференцируемые, тогда производная суммы равна сумме производных.

[Guliashik]

kp9r4d
Признаться честно, я не помню, чтобы я где-то его встречал, скорее всего, я его сам для себя придумал. А что за пример? И не могли бы вы привести определение?

P.S. Хотя гугл на "сумма двух функций" выдаёт какие-то ресурсы, содержащие именно такое определение. http://www.math10.com/ru/algebra/funktsii/operatsi-s-funktciyami.html

[kp9r4d]

Guliashik в сообщении #1016955 писал(а):

Признаться честно, я не помню, чтобы я где-то его встречал, скорее всего, я его сам для себя придумал. А что за пример? И не могли бы вы привести определение?

Соображения ровно те же что и у Otta только я их более выпендрёжными словами хотел сказать.

Guliashik в сообщении #1016955 писал(а):

И не могли бы вы привести определение?

Такое же, только для функций с одинаковыми областями определения.

Otta в сообщении #1016951 писал(а):

для определения производной в точке, исходная функция должна быть определена в окрестности этой точки.

А Зорич учит брать пределы функций, определенных на любом подмножестве $\mathbb{R}$ (в предельных точках оного, правда). :з Ну то я так, к слову.

[Otta]

kp9r4d в сообщении #1016959 писал(а):

А Зорич учит брать пределы функций, определенных на любом подмножестве $\mathbb{R}$ (в предельных точках оного, правда).

Пределы - да. Но производные у него - это пределы по стандартной базе проколотых окрестностей точки (или нуля, если речь о приращении аргумента).

-- 19.05.2015, 01:17 --

Guliashik

Guliashik в сообщении #1016955 писал(а):

P.S. Хотя гугл на "сумма двух функций" выдаёт какие-то ресурсы, содержащие именно такое определение.

Ну это для школьников сойдет, чтобы ОДЗ суммы считать умели, не более. Я так вижу цель этих заметок.

Но не важно. Важно ровно одно - Вам нужна только некоторая окрестность точки, в которой Вы собираетесь считать производную, и чтобы оба слагаемых были определены там. Как выглядит область определения глобально, не принципиально.

[kp9r4d]

Да вроде не (извиняюсь за неоформленный скрин). Определять на интервале нужно только для теоремы Коши, остальное всё можно в общем случае доказать.

[Otta]

(Оффтоп)

А, ну, значит мне неверно запомнилось. Но по правде, я практического смысла не вижу в таком определении, разве что кроме необходимости считать производную в граничной точке области определения, например, на конце отрезка. Не суть важно, пожалуй, да и к разговору о суммах уже не относится. :)

kp9r4d в сообщении #1016965 писал(а):

Определять на интервале нужно только для теоремы Коши, остальное всё можно в общем случае доказать.

Да для всех глобальных результатов нужен интервал: Лагранж, Ролль etc., насколько я понимаю.

[Brukvalub]

Даже в таком случае нужно, чтобы та точка, в которой считают производную суммы, была предельной точкой для пересечения областей определения слагаемых, что в "контрпримере" тс не наблюдается.

[Otta]

Дык его же именно это и смущает. Что дополнительно предельность точки именно для суммы не оговаривается.

[Brukvalub]

Otta в сообщении #1016979 писал(а):

Дык его же именно это и смущает. Что дополнительно предельность точки именно для суммы не оговаривается.

Всего не оговорить. Кое-что нужно и самому додумывать. Кстати, такая концепция соответствует нынешнему тренду чтения лекций и написания учебников по математике.