Базис пространства

[Aden]

Нужно найти максимальное число линейно независимых векторов в системе и определить базис пространства.
$\[a_1 = (2,1,3);a_2 = (4,3,5);a_3 = ( - 2, - 4,1);a_4 = (3,7,1);a_5 = (2,2,3);\]$
Максимальное число линейно независимых векторов в системе нашел, равно 3(так как ранг = 3).
Подскажите как определить базис пространства.

[Brukvalub]

Расположите векторы, например, по строкам в матрице и найдите тот из ее миноров 3-го порядка, который не равен 0. Строки этого минора и образуют один из базисов.

[mihailm]

Aden в сообщении #1013717 писал(а):

...Подскажите как определить базис пространства.

Напишите, как нашли ранг

[Aden]

$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 & { - 1} & {1.5} & 1 \\ 1 & 3 & { - 4} & 7 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array} } \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 & { - 1} & {1.5} & 1 \\ 0 & 1 & { - 3} & {5.5} & 1 \\ 0 & { - 1} & 4 & { - 3.5} & 0 \\ \end{array} } \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 & { - 1} & {1.5} & 1 \\ 0 & 1 & { - 3} & {5.5} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ \end{array} } \right) \] $
Так как ненулевых строк 3, то ранг равен 3.

[mihailm]

Уже хорошо. А что за циферки там в матрице стоят? откуда взялись?

[Aden]

$\[A = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 4 & { - 2} & 3 & 2 \\ 1 & 3 & { - 4} & 7 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array} } \right) \] $

[mihailm]

Векторы с номерами первых ненулевых элементов в первой, второй и третьей строках ступенчатой матрицы

[Aden]

$\[ \begin{gathered} ( - 1, - 3,1) \hfill \\ (1.5,5.5,2) \hfill \\ (1,1,1) \hfill \\ \end{gathered} \] $
А как правильно записать ?

[svv]

Вообще-то, mihailm имел в виду не эти векторы, а три первых, потому что для них сам принцип их выбора гарантирует линейную независимость. А чтобы установить, что эти тоже подходят в качестве базиса, нужна дополнительная проверка.

[Aden]

Получается, что базис пространства образуют векторы
$\[a_3 = ( - 2, - 4,1);a_4 = (3,7,1);a_5 = (2,2,3) \]$

[mihailm]

Первый ненулевой элемент в первой строке ступенчатой матрицы на каком месте?