Вычисление интеграла

[Aden]

Помогите с решением интеграла
$\[ \int {\frac{{\sin x}} {{1 + \sin x}}dx} \] $
$ \[ [tg\frac{x} {2} = t;x = arctgt;dx = \frac{{2dt}} {{1 + t^2 }};\sin x = \frac{{2tg(x/2)}} {{1 + 2tg^2 (x/2)}} = \frac{{2t}} {{1 + t^2 }}] \] $

$ \[ \int {\frac{{\sin x}} {{1 + \sin x}}dx} = \int {\frac{{\frac{{2t}} {{1 + t^2 }}}} {{1 + \frac{{2t}} {{1 + t^2 }}}}} \cdot \frac{{2dt}} {{1 + t^2 }} = \int {\frac{{2t}} {{t^2 + 2t + 1}} \cdot } \frac{{2dt}} {{1 + t^2 }} = 4\int {\frac{{tdt}} {{(1 + t^2 )(t + 1)^2 }}} \] $
А вот как дальше зашел в тупик. Либо все-таки неправильно начал решение ?

[Otta]

С самого начала добавьте-вычтите единицу, а потом после преобразования делайте, как задумали.

[Aden]

$ \[ \begin{gathered} \int {\frac{{\sin x}} {{1 + \sin x}}dx} = \int {dx - \int {\frac{{dx}} {{1 + \sin x}}} } ; \hfill \\ \int {\frac{{dx}} {{1 + \sin x}}} = [tg\frac{x} {2} = t;x = arctgt;dx = \frac{{2dt}} {{1 + t^2 }};\sin x = \frac{{2tg(x/2)}} {{1 + 2tg^2 (x/2)}} = \frac{{2t}} {{1 + t^2 }}] = \hfill \\ = 2 \cdot \int {\frac{{dt}} {{t^2 + 2t + 1}} = 2\int {\frac{{dt}} {{(t + 1)^2 }} = - \frac{2} {{t + 1}} = - \frac{2} {{tg\frac{x} {2} + 1}}} } ; \hfill \\ \int {\frac{{\sin x}} {{1 + \sin x}}dx} = x + \frac{2} {{tg\frac{x} {2} + 1}} + C; \hfill \\ \end{gathered} \] $
Так ?

[Dan B-Yallay]

В чем прелесть задачь на нахождение первообразной? В том, что можно самому проверить ответ.

[Aden]

Спасибо, сейчас найду производную...проверю.
Может подскажете с интегралом
$ \[ \int {\frac{{dx}} {{x^2 \cdot \sqrt {x^2 + 1} }}} \] $
С чего начать ?

[Dan B-Yallay]

$x=\tg t?$

[Otta]

Вынести квадрат из-под корня.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1011297 писал(а):

Вынести квадрат из-под корня.

А вот слона-то я и не приметил.

[Aden]

$\[ \int {\frac{{dx}} {{x^2 \cdot \sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\frac{{dx}} {{x^3 \cdot \sqrt {1/x^2 + 1} }}} \] $
Конечно напрашиваентся на интеграл $ \[ \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {x^2 + a} }} = \ln \left| {x + \sqrt {x^2 + a} } \right| + C;} \] $.

[Dan B-Yallay]

У меня напрашивается $u=1/x^2+1$

[ewert]

Otta в сообщении #1011297 писал(а):

Вынести квадрат из-под корня.

Это лишнее изобретательство. Поди угадай или упомни, какая замена в каких случаях сгодится. А вот тупой тангенс -- он быстр и эффективен, тригонометрию же можно и после убрать, если приспичит.

(ну можно, конечно, ещё гиперболический синус, по тому же шаблону и примерно с тем же эффектом, но это уже для эстетов)

[Otta]

(Оффтоп)

ewert
Вы привередничаете.

[Someone]

Aden в сообщении #1011291 писал(а):

\[\int {\frac{{\sin x}}{{1 + \sin x}}dx} = x + \frac{2}{{tg\frac{x}{2} + 1}} + C\]

Поскольку задача решена, рискну предложить ещё вариант решения:

$$\int\frac{\sin x}{1+\sin x}dx=\int dx-\int\frac{dx}{1+\sin x}=x-\int\frac{dx}{1+\cos\left(x-\frac{\pi}2\right)}=$$

$$=x-\int\frac{dx}{2\cos^2\left(\frac x2-\frac{\pi}4\right)}=x-\tg\left(\frac x2-\frac{\pi}4\right)+C.$$

[Dan B-Yallay]

Fixed

[ewert]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1011308 писал(а):

рискну предложить ещё вариант решения

а тут тригонометрия как-то не вполне сокращается, не говоря о прочем

-- Вт май 05, 2015 00:41:55 --

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1011305 писал(а):

ewert
Вы привередничаете.

нуда