Оценка угловой скорости корпуса при торможении маховика

[Ariman]

Добрый день. Передо мной стоит определенная практическая задача, хотелось бы сначала прикинуть величины, но что-то я, похоже, подзабыл физику. Буду благодарен, если мне кто-нибудь объяснит, как подобные вещи вычислять.

Суть следующая: имеем некоторое тело (корпус), допустим, тонкостенную сферу (в, принципе, не так важно), внутри которой расположен мотор с маховиком. Мотор мы медленно раскручиваем до достижения маховиком скорости $\omega _{0}$. После маховик резко тормозим, либо механически (вставляя стопор, об который маховик ударится выступом), либо (более интересный вариант), замыкая мотор на тормозной резистор. После этого, очевидно, корпус сам приобретет некоторую угловую скорость $\omega '$. Вот это все хотелось бы описать математически.

Для начала, я хотел рассмотреть упрощенный случай, когда корпус жестко закреплен и тормозим замыканием на резистор. Трением пренебрегаем. Тогда получается, что вся накопленная маховиком энергия переходит в тепловую на резисторе. Я попытался вывести для этого случая уравнение $\omega (t)$, но либо ошибся, либо просто не знаю, как довести доконца, укажите, пожалуйста на ошибку (т.к. не получилось с упрощенным случаем, до исходной задачи, с незакрепленным корпусом и энергией маховика уходящей как в тепловую (на резисторе), так и в раскрутку корпуса до тех пор, пока он и маховик не приобретут равные скорости $\omega '$, я так и не добрался):

1) В начальный момент времени маховик раскручен до скорости $\omega _{0}$ и имеет энергию $E_{0} = \frac{J_{flywheel}\cdot \omega _{0}^{2}}{2}$ (0)

2) Если бы мощность, рассеиваемая на резисторе, была постоянной ($P$), то уравнения $\omega (t)$ выглядело как $\omega (t) = \sqrt{\frac{2E_{0}-2Pt}{J}}$ (1)

Но мощность зависит от напряжения на резисторе, а напряжение зависит от угловой скорости маховика. Чтобы не тащить лишние константы, примем, что на клеммах мотора мы имеем (после сглаживания и фильтрации) напряжение $U(t) = k \omega (t)$ (2) (надеюсь, тут я не ошибся?)

Тогда мощность зависит от времени как $P(t) =\frac{ k^{2}}{R}\omega^{2} (t) = k' \omega^{2} (t)$ (3) Опять-таки, $k$ пока не столь важно, оставим $k$ вместо $k'$ чтобы не тащить лишнего.

3) Т.к. мощность меняется, рассмотрим бесконечно малый промежуток времени $\mathrm{d}$, в течение которого мощность будем считать постоянной, вычисляемой по (3). Тогда возводим в квадрат (1), подставляем туда выражение из (3):

$\mathrm{d} \omega ^{2} = \frac{2E_{0}}{J}-\frac{2k}{J}\omega ^{2}\mathrm{d} t$ (4)

4) Интегрируем, получая $2\omega (t) = -\frac{2k}{3J}\omega ^{3}(t)+c$ (5)



Ну, как бы, на этом все, на большее меня не хватило. Подскажите, пожалуйста, как правильно вычислить в данном случае $\omega (t)$, и как вычислить $\omega_{fw} (t)$ (маховика), $\omega_{sph} (t)$ (корпуса) в случае, если корпус не закреплен.

Большое спасибо.

[aa_dav]

Ariman в сообщении #1008531 писал(а):

как вычислить wкорпуса(t), wмаховика(t) в случае, если корпус не закреплен

закон сохранения момента импульса и всё. не надо тащить никакие энергии в решение.

[Ariman]

Возможно, я не так понял или не так объяснил.
Из сохранения момента импульса, вроде как, я могу получить только конечную скорость всей системы, то есть $\omega '=\frac{J_{fw}\cdot \omega _{0}}{J_{fw}+J_{sph}}$, но не зависимость $\omega (t)$, то есть посмотреть на угловое ускорение, действующие моменты и мощность рассеиваемую на резисторе я не смогу.
Или я не прав?

Я хотел посмотреть на это в динамике. То есть на то, как меняется угловая скорость корпуса, как минимум. И ток через резистор.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны мелкие формулы ($w(t)$, $k'$ и т.п. тоже нужно набирать с использованием $\TeX$).


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.