Мат.логика.Доказать клаузу аксиоматическим методом

[lueatomo]

Клауза $\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \Rightarrow A \vee B $
Не могу найти ошибку, 1 и 2 строки правильные(Как сказал преподаватель). Ошибка находится с 3-5 строки.

$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \Rightarrow A \vee B $
$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{A \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \wedge \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{\bar{A} \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \wedge \bar{B} \right\rangle \Rightarrow A$
$ A \wedge \bar{C} \Rightarrow A $

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[arseniiv]

Ну да, в третьей вы почему скобки не поставили?

Только непонятно, почему вы так свободно пользуетесь эквивалентными преобразованиями, почему скобки угловые, и правильно ли я решил, что $\Rightarrow$ — это на самом деле значок выводимости $\vdash$?

[lueatomo]

Значит нужно было добавить всего лишь скобку в третьей строке после $ \bar{B} $ ? Думаю особой разницы нет, угловые ли скобки или нет). Я в мат логике особо не разбираюсь, не понял Ваш вопрос про значок выводимости.

[gefest_md]

lueatomo, запятую во второй строке сохраняйте до тех пор, пока не будете уверенны, как она убирается. Если бы Вы её не убирали, правильных строк было бы три.

[lueatomo]

gefest_md
$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \Rightarrow A \vee B $
$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{A \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{\bar{A} \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \wedge \bar{B} \right\rangle \Rightarrow A$
$ A \wedge \bar{C} \Rightarrow A $
Вот так, теперь правильно?

[gefest_md]

В четвёртой строке первое $A$ имеет отрицание, в третьей строке - нет.
Запятая это барьер для допущения $\bar{B}$. Здесь надо бы не дать $\bar{B}$ перепрыгнуть через него, устанавливая другой барьер.

[lueatomo]

gefest_md, я Вас не понял насчет барьера)). В третьей строке нет потому что я его не преобразовал.Вот вариант, теперь правильно? Как Вы думаете?

$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \Rightarrow A \vee B $
$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{A \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{\bar{A} \vee C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \wedge \bar{B} \right\rangle \Rightarrow A$
$ A \wedge \bar{C} \Rightarrow A $

[arseniiv]

lueatomo в сообщении #1005371 писал(а):

Значит нужно было добавить всего лишь скобку в третьей строке после $ \bar{B} $ ?

Ну, одну скобку в любом случае добавлять нельзя — из формулы таким образом получится только не-формула. А самое главное — нет, не после $\bar B$.

Так вы правильно скобки и не поставили до сих пор, кстати. Переход от третьей к четвёртой строке.

lueatomo в сообщении #1005371 писал(а):

Думаю особой разницы нет, угловые ли скобки или нет).

Небольшая таки есть: ( и ) вам набирать будет куда быстрее, чем \langle и \rangle.

lueatomo в сообщении #1005371 писал(а):

Я в мат логике особо не разбираюсь, не понял Ваш вопрос про значок выводимости.

Мне просто думалось, что во всех современных курсах используют $\Gamma\vdash A$, чтобы показать существование вывода $A$ из гипотез $\Gamma$ — просто чтобы лишний раз не ставить рядом $\Rightarrow$ и $\to$, перепутать которые тут будет нехорошо, как и везде, а вот сочетаться они в одном и том же месте будут куда чаще, чем в других математических текстах. (К тому же, есть ещё запись $\Gamma\vDash A$, означающая логическое следствие $A$ из $\Gamma$ — и здесь $\Rightarrow$, в принципе, тоже стоять могла бы в альтернативной вселенной, и тогда вообще была бы здоровая путаница.)

[gefest_md]

lueatomo в сообщении #1005415 писал(а):

gefest_md... теперь правильно? Как Вы думаете?
...
$\left\langle \overline{A \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{\bar{A} \vee C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \wedge \bar{B} \right\rangle \Rightarrow A$
...

Второе допущение $\bar{B}$ может примкнуть к первому допущению, но проникать в него - нет.

[arseniiv]

(Не думаю, что банальную ошибку записи конъюнкции стоит называть отдельным именем.)

[lueatomo]

$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \Rightarrow A \vee B $
$\left\langle A \to C \right\rangle \to \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{A \to C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle , \bar{B} \Rightarrow A $
$\left\langle \overline{\bar{A} \vee C} \right\rangle \vee \left\langle \bar{A} \wedge B \right\rangle \wedge \bar{B} \Rightarrow A$
$ A \wedge \bar{C} \Rightarrow A $

Теперь правильно?

[arseniiv]

Неправильно, если придерживаться принятого приоритета операций, где у $\wedge$ он выше, чем у $\vee$.

[lueatomo]

arseniiv
Что выше?