2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 13:28 
Аватара пользователя
Непрерывные функции могут быть недифференцируемыми.
Например, функция Вейерштрасса является непрерывной функцией, которая нигде не дифференцируема (не имеющей производной).

Согласно Теореме Лебега. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Абсолютная_непрерывность)
Если $f(x)$ абсолютно непрерывна на (a,b), то $f^{\prime}(x)$ является интегрируемой, и для почти всех $x\in[a,b]$
$f(x)=f(a)+\int^x_a f^{\prime} (x) dx$.

Значит ли это, что "Если $f(x)$ абсолютно непрерывна на (a,b), то она дифференцируема"?

Существуют ли абсолютно непрерывные функции, которые недифференцируемы?

То есть непрерывные функции могут быть недифференцируемыми, а абсолютно непрерывные нет?

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 14:06 
Аватара пользователя
Попробуйте построить пример абсолютно непрерывной функции со счетным множеством "изломов" на ее графике, в которых у этой функции нет производной.
В учебниках ТФДП стандартно доказывается, что абсолютно непрерывная функция дифференцируема почти всюду, но не более того.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 14:07 
Аватара пользователя
Divergence, Вы употребляете много слов, которые не имеют смысла без конкретизации: где? Где дифференцируема?

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 14:41 
Аватара пользователя
Вроде написал конечный интервал действительной оси $(a,b)$.
Согласен, что надо говорить о дифференцируемости почти всюду.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 15:38 
Аватара пользователя
ОК, ну а что является антонимом к дифференцируемости почти всюду?

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 16:16 
Аватара пользователя
недифференцируемость почти всюду

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 16:27 
Аватара пользователя
Оригинальный взгляд. А куда отнесём такие состояния, как дифференцируемость в одних областях и недифференцируемость в других, причём ни те, ни другие не могут быть охарактеризованы как "почти всюду"?

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение25.03.2015, 17:02 
Аватара пользователя
Это примерно вот что.
Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Выберите правильный ответ:
$\bullet$ Да, абсолютно непрерывные функции всегда дифференцируемы.
$\bullet$ Нет, абсолютно непрерывные функции всегда недифференцируемы.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение26.03.2015, 11:20 
Divergence в сообщении #995383 писал(а):
Согласно Теореме Лебега. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Абсолютная_непрерывность)
Если $f(x)$ абсолютно непрерывна на (a,b), то $f^{\prime}(x)$ является интегрируемой, и для почти всех $x\in[a,b]$
$f(x)=f(a)+\int^x_a f^{\prime} (x) dx$.

Статья безобразна. В частности, эта формулировка нелепа: равенство выполняется не почти, а просто всюду. Уж не говоря о том, что без упоминания (хоть где-нибудь) о дифференцируемости почти всюду эта формулировка просто бессмысленна. Не менее нелепо выглядит, кстати, фраза
Цитата:
Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение26.03.2015, 12:54 
Аватара пользователя
ewert критиковать легко, а вот возьмите и поправьте статью! СлабО? :D

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение07.04.2015, 17:00 
Аватара пользователя
про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее, но как бы в педагогических целях - студент парится над доказательством и не замечает что ряд/интеграл и тд сходится абсолютно и парится не к чему.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение07.04.2015, 17:47 
Аватара пользователя
tavrik в сообщении #1001231 писал(а):
про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее, но как бы в педагогических целях - студент парится над доказательством и не замечает что ряд/интеграл и тд сходится абсолютно и парится не к чему.

Все больше "педагогов", которые "слышали звон, да не знают, где он". :D
В дальнейшем, лучше на "парьтесь" с такими "объяснениями" и не "парьте мозги" другим. :evil:

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение07.04.2015, 17:59 

(Оффтоп)

tavrik, Вы не подумайте, что Brukvalub защищает какие-то там косные преподавательские стандарты. Вы действительно ерунду сморозили.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение07.04.2015, 23:20 
tavrik в сообщении #1001231 писал(а):
про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее

Это нельзя назвать лишним; это просто неграмотная формулировка. Подразумевается "если сходится ряд из модулей", а произносится "если сходится абсолютно". Видимо, думается при этом, что так вразумительнее и красивше.

Да, так бывает, в т.ч. и среди преподов. Ну что поделать -- безграмотных людей везде хватает.

-- Ср апр 08, 2015 00:24:04 --

Brukvalub в сообщении #995896 писал(а):
а вот возьмите и поправьте статью! СлабО? :D

СлабО. Это ж надо её почти с нуля переписывать, а мне недосуг.

 
 
 
 Re: Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Сообщение07.04.2015, 23:25 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1001412 писал(а):
tavrik в сообщении #1001231 писал(а):
про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее

Это нельзя назвать лишним; это просто неграмотная формулировка. Подразумевается "если сходится ряд из модулей", а произносится "если сходится абсолютно". Видимо, думается при этом, что так вразумительнее и красивше.

Да, так бывает, в т.ч. и среди преподов. Ну что поделать -- безграмотных людей везде хватает.

ewert, уж Вам-то подобные глупости писать совсем ни к лицу. Неужто Вы не знаете, что термин "абсолютная сходимость" является общепринятым и используется во всех учебниках математического анализа? :shock:

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group