Формула Стокса

[MestnyBomzh]

$\int_{L} (xy+z)dx+(yz+x)dy+y \sqrt{a^2-x^2}dz$
При этом $L$- кривая, образованная пересечением поверхностей:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2&=2ax& \\ x^2+y^2&=a^2& \\ \end{array} \right.$$

При этом она положительно ориентированная на внутр. стороне данного цилиндра.
Действую по фор-ле: $\oint _C \vec{F} d\vec{r} = \iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \vec{n} dS$
$\nabla \times \vec{F}= (\sqrt{a^2-x^2}-y)\vec{i}+(1+\frac{2xy}{\sqrt{a^2-x^2}})\vec{j}+(1-x)\vec{k}$
$\vec{n} =\operatorname{grad}{F(x,y,z)}$. Где $F$ - неявно заданная функция: $F(x,y,z) = 0$. Её найдем следующим образом: вычтем из первого уравнения второе: $F = z^2-2ax+a^2=0$
Тогда $\vec{n} = (-2a, 0, 2z)$
Далее $\oint _C \vec{F} d\vec{r} = \iint_{S} 2ay-2a\sqrt{a^2-x^2} + 2z - 2zx dS = \iint_{S} 2z-2zx dS$
А вот дальше что делать не знаю

[Oleg Zubelevich]

сужать форму на поверхность, вычислять $dS$, вычислять $n$. И тот и другой объект определяются через метрический тензор, который к данной задаче никакого отношения не имеет. Если задача сформулирована на языке дифференциальных форм то лучше в его рамках и оставаться дабы жизнь не усложнять

-- Ср апр 01, 2015 11:36:11 --

кстати должно быть $|n|=1$ на поверхности

[MestnyBomzh]

Oleg Zubelevich
В задаче сказано использовать формулу Стокса. Ничего более

[Oleg Zubelevich]

дифференциальных форм Вы ,по-видимому, не проходили, но что такое $dS$ Вам ведь наверняка рассказывали?

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #998815 писал(а):

...
$\vec{n} =\operatorname{grad}{F(x,y,z)}$. Где $F$ - неявно заданная функция: $F(x,y,z) = 0$. Её найдем следующим образом: вычтем из первого уравнения второе: $F = z^2-2ax+a^2=0$
..

Это как: "вычтем..." Вы сначала определитесь, какая поверхность берется в качестве поверхности, по которой вы ротор векторного поля интегрировать собираетесь. А "вычитать уравнения поверхности" - это верх нелепости!!!

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #998842 писал(а):

Вы сначала определитесь, какая поверхность берется в качестве поверхности, по которой вы ротор векторного поля интегрировать собираетесь

ошибаетесь, сначала надо определиться с тем что такое "интегрировать по поверхности"

[MestnyBomzh]

$dS$ - приращение площади с ростом координат.
Да, тут я махнул с вычитанием. Мб нужно параметризовать, чтобы найти вектор $n$?

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #998881 писал(а):

$dS$ - приращение площади с ростом координат.
Да, тут я махнул с вычитанием. Мб нужно параметризовать, чтобы найти вектор $n$?

Что именно нужно "параметризовать"? Вы не думаете, вы просто "решаете", как мясорубка, которой все равно, что перемалывать: мясо или газеты?

[MestnyBomzh]

Я лишь смотрю на формулу Стокса и понимаю, что ротор я найти могу и уже нашел. я не знаю как найти вектор нормали к полученной поверхности. Да и вообще, почему там поверхность, если в пересечении получается кривая. Это я Вас и спрашиваю

[Brukvalub]

На формулу Стокса, к и на электросварку, смотреть вообще не рекомендуется. На самом деле, формулы Стокса и вовсе нет, есть теорема о формуле Стокса. Вот и разберитесь в этой теореме, а не пытайтесь что-то там решить, "глядя на формулу Стокса".

[MestnyBomzh]

Итак, по теореме о формуле Стокса получаем: $\iint\limits_{S} (\sqrt{a^2-x^2}-y)dydz+(1+\frac{xy}{\sqrt{a^2-x^2}})dzdx+(1-x)dxdy$
Дальше, видимо, нужно придумать какую-то параметризацию, чтобы взять такой интеграл?

-- 04.04.2015, 13:19 --

например, такую:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=a \cos t& \\ y&=a \sin t& \\ z&=\pm a \sqrt{2 \cos t -1}& \\ \end{array} \right.$$

[Brukvalub]

$S$ - это поверхность, она - двумерна, ее нельзя параметризовать только одним параметром.
Но вы - поднатужились и смогли!

[MestnyBomzh]

Да, я такое могу
Изначальная система задает контур, вот оно так и получилось. Значит её нужно как-то поменять, чтобы получилась поверхность. Например, поставить вместо знака равенства в уравнении сферы - неравенство.
Тогда такая система:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=a \cos t& \\ y=a \sin t& \\ -a \sqrt{2 \cos t -1} < z < a \sqrt{2 \cos t -1}& \\ \end{array} \right.$$

[Brukvalub]

Попробуйте сначала написать уравнение поверхности именно как уравнение, а уж потом будем ее параметризовывать-перепараметризовывать-выпараметризовать.

[MestnyBomzh]

В системе вот так:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2& \leq 2ax& \\ x^2+y^2&=a^2& \\ \end{array} \right.$$

Или нужно именно одним уравнением?