Жесткая, безвихревая, сферически -симметричная НСО

[Stanislav A. Podosenov]

Жесткая, безвихревая, сферически-симметричная НСО
Рассмотрим в пространстве Минковского центрально - симметричное движение сплошной среды, происходящее из некоторой точки, в которой помещено начало координат. Очевидно, что для наблюдателей в лагранжевой сопутствующей системе отсчета расстояние между соседними элементами среды будет изменяться во времени, т.е. такая система не является жесткой . Так как все точки среды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют одинаковые скорости и ускорения , то такая среда движется без вращений
. Таким образом, для такой НСО тензор угловой скорости вращения равен нулю, а тензор скоростей деформаций и поле векторов первой кривизны отлично от нуля. Если для рассматриваемой НСО потребовать выполнения условия жесткости, то из анализа уравнения структуры (1.7) [1] следует , что в пространстве Минковского не существует сферически - симметричной НСО, имеющих радиальное ускорение отличное от нуля и равный нулю
тензор скоростей деформаций.
Иными словами, в пространстве Минковского невозможно жесткое радиальное движение сплошной среды.

В римановом пространстве такая ситуация возможна. Это следует, например, из словия статического равновесия в сферически - симметричном гравитационном поле, описываемой метрикой Шварцшильда . Для наблюдателей, покоящихся на поверхности
неподвижной гравитирующей сферы, с точки зрения ОТО ускорение отлично от нуля и правлено от центра перпендикулярно поверхности, в то время как для наблюдателей, придерживающихся ньютоновской точки зрения, ускорение равно нулю. И, наоборот, свободное падающее тело в ньютоновском поле тяжести имеет отличное от нуля ускорение, а в шварцшильдовом поле движется по геодезической линии с нулевым ускорением.

Метрику сферически - симметричной лагранжевой сопутствующей
НСО по аналогии с ОТО ищем в виде

$$ dS^2 = \exp(\nu)(dy^0)^2- r^2(d\theta^2+\sin^{2}\theta{d}\phi^2) - \exp(\lambda)(dr)^2, \eqno(1) $$

где $\nu$ и $\lambda$ зависят только от $r$.

НСО (1) является очевидно жесткой, т.к. метрические коэффициенты не зависят от времени, а равенство нулю компонент $g_{0k}$ говорит об отсутствии вращений. Система (1.1) [1] с учетом сформулированных требований, а также выполнения условий сопутствия
$V^k=V_k=0, V^0=(g_{00})^{-1/2}, V_0=(g_{00})^{1/2}, F^1= F(r), F^0=F^2=F^3=0$
сводится к одному уравнению

$$ F^1=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}\exp(-\lambda). \eqno(2) $$

Можно убедиться , что структурные уравнения (1.7) [1] удовлетворяют (2) без дополнительных связей на функции $\nu(r)$ и $\lambda(r)$.Таким образом, по заданному полю векторов первой кривизны $F^1$ нельзя однозначно без привлечения дополнительных факторов определить метрику (1).

Рассмотрим некоторые простейшие возможности.
Проведем следующий мысленный эксперимент.

а). Пусть наблюдатели, находящиеся на поверхности земли, вращения которой не учитываем, плотность считаем постоянной, а форму сферической, измеряют гравитационное поле с помощью акселерометров. Они найдут, что поле ускорений направлено по радиусу от центра перпендикулярно поверхности. Для измерения поля вдали от поверхности используем множество радиальных невесомых жестких стержней, вдоль которых установим систему акселерометров. Совокупность стержней и
акселерометров задает базис радиальноускоренной жесткой системы отсчета.
Действительно, по мере удаления от поверхности земли поле ускорений будет уменьшаться, подчиняясь ( в нулевом приближении ) закону всемирного тяготения Ньютона. Если наблюдатели считают , свое пространство плоским , а закон всемирного тяготения точным , то метрика (1) будет иметь вид .

$$ dS^2 = \exp(-r_g/r)(dy^0)^2- r^2(d\theta^2+\sin^{2}\theta{d}\phi^2) - (dr)^2, \eqno(3) $$

где $r_g=2kM/c^2$ носит название гравитационного радиуса . При выводе (3) учли, что по определению плоского пространства $\lambda=0$ , а $\nu$ нашли из (2) и закона тяготения Ньютона.

Итак, хотя метрика пространства - плоская , метрика пространства - времени (3) оказалась римановой. Таким образом, ньютоновская теория гравитации в плоском пространстве допускает два логически непротиворечивых толкования.

В согласии с общепринятой трактовкой в ньютоновской теории плоским является не только пространство, но и пространство - время. При этом на тело, находящееся на поверхности земли, действуют две силы , сила тяжести и сила реакции опоры , которые в сумме дают ноль и поэтому не сообщают телу никакого ускорения.

В нашей трактовке на тело, покоящееся относительно поверхности земли, действует только одна сила - сила реакции опоры, которая сообщает телу ускорение, измеряемое акселерометром, вычисляемое по формуле (2) с использованием метрики (3). Если опору убрать, то тело будет двигаться по геодезической линии в пространстве - времени с метрикой (3), в то время как при обычной трактовке при отсутствии опоры тело будет двигаться в плоском пространстве - времени под действием силы тяжести.

Модифицированная нами ньютоновская трактовка ближе к эйнштейновской, чем чисто ньютоновская. Можно показать, что расчет смещения перицентра за один оборот по метрике (3) в три раза меньше, чем по метрике Шварцшильда. Изменение направления луча света при прохождении вблизи центрального тела по (3) в два раза меньше щварцшильдовского. Поэтому предлагаемая модель, не претендуя на замену ОТО, устанавливает более тесную связь между ньютоновской и эйнштейновской теориями, показывая , что ньютоновскую теорию можно рассматривать в римановом пространстве
- времени. Если в ньютоновском приближении рассматриваемая трактовка совпадает с экспериментальными данными, то более тонких эффектов, которые объясняет ОТО, модель не учитывает.

Попытаемся модифицировать модель так, чтобы она точнее соответствовала данным наблюдений.

б).При выводе (3) предполагалось, $\lambda=0$, что соответствует модели плоского пространственного сечения. В качестве системы отсчета вне земли выбиралась система жестких недеформируемых стержней, по которым звук распространяется с бесконечно большой скоростью, что противоречит конечности скорости распространения взаимодействия.
Поэтому для устранения этого недостатка модели будем считать , как и в ОТО, что структура базиса радиальноускоренной НСО вне земли эквивалентна некоторой упругой среде , подверженной деформациям, а, следовательно, и напряжениям, но имеющей равный нулю тензор скоростей деформаций.
Из вида метрики (1) следует, что мы рассматриваем лишь малые радиальные смещения упругой среды, для которых отлична от нуля
( в обозначениях [2] ) в сферических координатах лишь радиальная $u_{rr}={\partial}u_r/{\partial}r$ компонента тензора деформаций. Что касается компонент $u_{\theta\theta}=u_{\phi\phi}={u_{r}}/r$
, то они пренебрежимо малы по сравнению с $u_{rr}$ и в
рассматриваемой модели не учитываются.

Связь между тензорами деформаций и напряжений удобнее определить в лагранжевой сопутствующей НСО, рассматривая упругую среду без сдвиговых напряжений, для которой справедлив закон Гука в виде [3]

$$ P^{ij}=\tilde \lambda{I_1}\gamma^{ij},\qquad I_1(\varepsilon)= \gamma^{kl}\varepsilon_{kl}=\frac{1}{2}(1-\exp(-\lambda)), \eqno(4) $$

где $I_1$ - первый инвариант тензора деформаций , $\tilde \lambda$ - кооэффициент Ламе, $\gamma^{ij}=-g^{ij}$ - метрика пространственного сечения (1).

$$ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\gamma_{ij}-\gamma'_{ij}) $$

$\gamma'_{ij}$ - метрический тензор плоского пространства в сферических
координатах.

Упругая среда должна удовлетворять уравнению неразрывности

$$ \nabla_{\mu}({\rho}V^{\mu})=0 $$

Решение уравнения неразрывности приводит к соотношению

$$ \rho=\rho_0\exp (-\lambda/2), \eqno(5) $$

где $\rho_0$ - плотность " среды " в недеформированном состоянии.
Уравнения " движения " упругой среды в лагранжевой НСО имеют вид аналогичный условию равновесия упругой среды в ньютоновском поле тяжести [2] при классическом рассмотрении

$$ \nabla_j{P^{ij}}=-\rho_0{a^j}, \eqno(6) $$

где $а^j$ - " нефизические " - аффинные компоненты ускорения, а поднятие и опускание тензорных индексов и вычисление ковариантной производной производится с помощью пространственной метрики $\gamma_{ij}$.
Полагая , что физические или тетрадные компоненты ускорения соответствуют, ( как и в случае а).), ньютоновскому значению, из ( 6) и (5) имеем в сферических координатах выражение

$$ \exp(-\lambda)\frac{d\lambda}{dr}=-2\frac{\rho_0{kM}} {\tilde \lambda{r}^2}, \eqno( 7) $$

интегрирование которого при условии, что на бесконечности пространство плоское ($\lambda= 0$) приводит к соотношению

$$ \exp(-\lambda)=\biggl(1-\frac{2{kM}}{c_0^2{r}}\biggr), \qquad c_0^2=\frac{\tilde \lambda}{\rho_0}, \eqno( 8) $$

где $c_0$ - продольная скорость звука.

Учитывая, что вектор первой кривизны

$$ F^1=c^{-2}a^1= (\gamma_{11})^{-1/2}kM/(cr)^2 $$

, используя (2) и (7), получаем уравнение
для $\nu$, интегрирование которого при условии, что на бесконечности
$\nu=0$ дает

$$ \nu= 2\biggl(\frac{c_0}{c}\biggr)^2\biggl(\sqrt{1-\frac{2kM}{{c_0}^2r}}-1\biggr). \eqno(9) $$

Предел выражений (8) и (9) при $c_0\to \infty$ приводит к метрике (3), что соответствует модели абсолютно твердого тела в ньютоновском смысле. Релятивистски жестким телом [1] назовем такое тело, продольная скорость звука в котором равна скорости света в вакууме. При этом выражение (8), что точности совпадает с $\gamma_{11}$
компонентой метрики Шварцшильда в стандартной форме, [4] а из (9) получается $g_{00}$ компонента этой метрики, если разложить $\exp(\nu)$ в ряд и сохранить лишь первый порядок малости по $(r_g/r)$.

Итак, для сферически - симметричной жесткой НСО, базисом которой является релятивистски жесткое тело, а ускорение соответствует ньютоновскому , метрика имеет вид (1), где $\nu$ определяется из (9) при скорости звука $c_0$ равной скорости
света $c$ в вакууме , а $\lambda$ при тех же условиях из (8).
Окончательный результат представим в виде

$$ dS^2=\exp\bl\{2\sqrt{1-\frac{2kM}{{c_0}^2r}}-2\br\} (dy^0)^2- r^2(d\theta^2+\sin^{2}\theta{d}\phi^2) -\frac{dr^2}{1-\frac{2{kM}}{c_0^2{r}}}. \eqno(10) $$

Расчет известных эффектов ОТО по метрике (10) лишь незначительно отличается от расчета, использующего метрику Шварцшильда. Отличие проявляется в расчете смещения перицентра, который составляет 5/6 от шварцшильдовского. Изменение направления луча света при прохождении вблизи центрального тела совпадает с щварцшильдовским. Поэтому модифицированная модель значительно ближе соответствует ОТО, чем (3).

Из рассмотренного здесь круга вопросов следует, что последовательное определение физической системы отсчета, как тела отсчета с заданными физическими свойствами, привело к существенному сближению теорий гравитации Ньютона и Эйнштейна. Наделение систем отсчета физическими свойствами в некотором смысле эквивалентно введению квантовомеханического принципа дополнительности в ньютоновскую теорию гравитации. Геометрия пространства-времени при таком подходе зависит от средств, с помощью которых она наблюдается. Точно так же, как и в квантовой механике атомные системы нельзя описывать независимо от средств наблюдений.
Литература.

[1] С.А. Подосенов, Пространство, время и классические поля связанных структур. комп."Спутник+". М. 2000 г.

[2] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц . Теория упругости. "Наука" М. 1965.

[3] Л.И. Седов. Механика сплошной среды, том 1. "Наука" М. 1970

[4] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц . Теория поля. "Наука" М. 1973

[Владимир Родионов]

Молодец, Подосёнов!