Нётеровы модули

[greg2]

Вопрос одновременно и по теореме и по задаче. Известна теорема, говорящая, что модуль является нётеровым тогда и только тогда, когда каждый его подмодуль - нётеров. Доказывается от противного: пусть существует бесконечная последовательность растущих подмодулей $M_1 \leq M_2 \leq ...$, каждый из которых конечно генерируемый. Их объединение $M'=\bigcup (M_i \mid i>0)$ - является подмодулем и, соответсвенно, конечно генерируется.
----
Здесь сразу вопрос - имеют в виду только собственные подмодули или несобственные тоже? Если несобственные тоже, то есть что сам модуль конечно генерируется, разве может быть, что он имеет собственный подмодуль, который не имеет конечного количества генераторов? Если может быть - приведите, пожалуйста, пример.
----
Затем выбирают множество генераторов, которых, скажем, $k$ и находят минимальное $i$ такое, что все генераторы вплоть до $k$ лежат внутри этого подмодуля и соответственно имеем стабилизировавшуюся последовательность модулей.

Рассмотрим теперь такой пример: модуль $\mathbb{Q}$ как $\mathbb{Q}_p$-модуль, где $\mathbb{Q}_p=\lbrace \frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb{Z}, p \nmid b\rbrace$, где $p \in \mathbb{P}$ . Рассмотрим такую цепочку растущих подмодулей:
$M_0 \leq M_1 \leq ...$
$M_i = (\frac{1}{p^i})$
Из элемента $\frac{1}{p^i}$ умножением c ybv нужного элемента из $\mathbb{Q}_p$ можно получить любой элемент $\mathbb{Q}$, который в знаментале имеет число, делимое максимально $i$-той степенью $p$. То есть имеем действительно вложенную последовательность растущих подмодулей, каждый из которых генерирован единственным элементов. Тем не менее объединение этих модулей есть $\mathbb{Q}$, который не является конечно генерированным.

-- 02.04.2015, 14:43 --

В случае с примером не пояснил хорошо - разумеется, объединение не обязано быть конечно генерированным, потому что мы не знаем пока есть ли у данного модуля такое свойство или нет - но почему в теореме мы уверены, что объединением последовательности подмодулей получим собственный подмодуль, а не целый модуль?

[пианист]

Честно сказать, вопрос не вполне понял.
Доказательство, вроде бы, да (но я не алгебраист ;).
Пример конечнопорожденного модуля: $R[x_1,x_2,...]$ (от бесконечного числа переменных, как модуль над собой) - равен $(1)$, но $(x_1,x_2,...)$ никаким конечным числом элементов не порождается.

[greg2]

Хм, хорошо, пример принял.

Вопрос о теореме был: утверждается ли необходимость конечной порожденности самого модуля, если он нётеровский? Или только собственных его подмодулей?

[AV_77]

Естественно, здесь все подмодули должны быть конечно порожденными, в том числе, и не собственные. В конце концов, существуют абелевы группы (модули над $\mathbb{Z}$), которые не имеют конечных систем порождающих, но каждая их собственная подгруппа конечно порождена. Они не являются нетеровыми модулями.