Упорядочивание несчётных множеств

[Aritaborian]

aa_dav в сообщении #999339 писал(а):

Ну там строится таблица и путём диагонального вычёркивания цифр приводится процедура построения вещественного которое в любой позиции $N$ в ней не находится. Т.е. оно и не тут и не там, всегда отодвигается в бесконечность такое построение (всё время есть $N+1$ с вычеркнутой другой цифрой).

Незачёт. Приходите на следующей неделе.

[g______d]

whitefox в сообщении #999330 писал(а):

Неупорядоченная пара может иметь одинаковые элементы, а потому не будет двухэлементным множеством, но двухэлементным мультимножеством будет.

Ладно, я не очень понимаю, что такое мультимножество. Пусть будет двухэлементное подмножество. Тогда вопрос кажется содержательным, хотя и не понятно, с какого перепугу кому-то должно быть интересным заниматься именно им. Разве что есть какой-то комбинаторный трюк, позволяющий вывести из него AC, хотя я не знаю, как.

Вот "двойственный" вопрос, про аксиому выбора для конечных множеств, изучался.

[whitefox]

(мультимножество)

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiset

[g______d]

(Оффтоп)

С точки зрения аксиоматики какой-то объект неинтересный. Даже счётных объединений брать нельзя.

[AGu]

(Оффтоп)

Мдааа, веселенькая выдалась весна на dxdy. Что ни день, то обострение.

[Anton_Peplov]

greg2 в сообщении #999029 писал(а):

Так все же, что означает вполне упорядоченность действительного множества? Почему это нечто принципиально другое, чем вполне упорядоченность счетного множества и почему вполне упорядоченное множество "не становится" при этом счетным?

Что Вы подразумеваете под "не становится счетным"? Не меняет мощность с континуальной на счетную? Каким образом введение бинарного отношения на множестве может изменить его мощность?

Касательно процедуры упорядочивания тут вот какая трудность. Нам нужно не только существование отношения "$\leqslant$", которое вполне упорядочивает множество $M$, но и процедура, которая для любых $a, b$ из исходного множества $M$ выдает ответ, верно ли, что $a \leqslant b$. Так вот, если $M$ континуально, в каком виде этой процедуре (пока не будем считать ее алгоритмом в строгом смысле) будут передаваться $a$ и $b$? Проблема в том, что для любого конечного алфавита множество всех его конечных строк счетно. Поэтому континуальное множество нельзя однозначно закодировать (каждому элементу $M$ поставить во взаимно однозначное соответствие какую-нибудь конечную строку алфавита). Поэтому, например, мы не можем однозначно поименовать в нашем обычном математическом языке каждое иррациональное число. У нас есть имена для некоторых иррациональных чисел - так, отношение длины окружности к диаметру именуется "$\pi$", квадратный корень из двух именуется "$\sqrt{2}$" и т.д., но так можно поименовать лишь счетное множество чисел. Чтобы поименовать каждое число из континуума, нам пришлось бы употребить в имени каждого числа бесконечное число символов, а с такими именами мы работать не можем - они за конечное время не могут быть даже выписаны. Поэтому алгоритмы вычисления функций действительных переменных (например, те, что реализованы в любом калькуляторе) принимают лишь конечное число знаков после запятой, тем самым заменяя иррациональное число более или менее близким к нему рациональным. А множество рациональных чисел счетно, поэтому они могут быть однозначно поименованы.

Так вот вопрос: если нам при работе с любой процедурой придется заменить континуальное множество на счетное, то на кой нам вообще искать процедуру для континуальных множеств?

[AGu]

Anton_Peplov в сообщении #999387 писал(а):

Так вот вопрос: если нам при работе с любой процедурой придется заменить континуальное множество на счетное, то на кой нам вообще искать процедуру для континуальных множеств?

Это риторический вопрос? Если вдруг нет, то, не сочтите за издевательство, первая половина Вашего вопроса обосновывает его вторую половину, а вторая половина вопроса является ответом на него.

На всякий случай уточню.
Ответ: «на кой нам вообще искать процедуру для континуальных множеств?»
Комментарий: Не ищите процедуру там, где ее нет и быть не может — и будет Вам счастье.

[Anton_Peplov]

AGu в сообщении #999392 писал(а):

Это риторический вопрос?

Разумеется, риторический.

[AGu]

Anton_Peplov в сообщении #999394 писал(а):

Разумеется, риторический.

Ура! (Простите, я не всегда успешно распознаю иронию. Весна...)