Символ оператора.

[samson4747]

Доброго времени суток!

Вопрос понимаю, что простой, но чего-то торможу.

Имеем разложение символа:

$$ a(x,\xi)\approx a_0(x,\xi)+a_1(x,\xi)+\dots \eqno(1)$$

Пусть $\theta(\xi)$ бесконечно гладкая на $\mathbb R^n$, равная $0$ в окрестности начала и $1$ вне большей окрестности.

Тогда из $(1)$ умножением на $\theta(\xi)$ получаем, что

$$ a(x,\xi)\sim \theta(\xi) a_0(x,\xi)+\theta(\xi) a_1(x,\xi)+\dots, \eqno(2)$$

обратно имеем $(1)$.

Почему при умножении на $\theta(\xi)$ получаем, не это
$\theta(\xi) a(x,\xi)\sim \theta(\xi) a_0(x,\xi)+\theta(\xi) a_1(x,\xi)+\dots$?

Спасибо!

[Vince Diesel]

А что в данном случае означает символ $\sim$?

[samson4747]

Vince Diesel, тоже, что и $\approx$, разложение в ряд. Взято тут, лекция №7.

[Vince Diesel]

Как указано там в определении, оценки должны быть выполнены для достаточно больших $\xi$, а там $\theta(\xi)=1$.

[Red_Herring]

samson4747 в сообщении #998222 писал(а):

тоже, что и $\approx$, разложение в ряд

А почему не просто $=$? (Подсказка: в каком смысле ряд суммируется?)

[samson4747]

Да, да, да. Не спать ночами, это сложно.

Последний вопрос:
Из теоремы 5 лекция №4 , следует теорема 3 лекция №7. очевидно, но почему? Чего я опять проспал?

Благодарю!

-- 30.03.2015, 23:40 --

Red_Herring, асимптотический ряд из символов $a_j$ потому что, была бы конечная сумма написал бы $=$ или не понял Вас?

[Red_Herring]

Дело не в том что ряд бесконечный, а в том что равенство асимптотическое.

Что касается вопроса "из теоремы … " следует … , то Вам следует понять

1) Что такое класс $\Psi^m$? Включает ли он в себя все полиоднородные символы (или символы асимптотически от них неотличимые)?

2) Если $a$ полиоднородный, то будет ли $a^{(*)}$ таким же?

[samson4747]

1) Это класс псевдодифференциальных операторов. Нет.
2) Скорее да, чем нет.

[Red_Herring]

1) … Ошибка. Полиоднородные символы (а точнее их асимптотические суммы) входят в класс $S^{m}$. Но не всякий символ этого класса разлагается в асимптотический ряд по однородным

[samson4747]

Точно!!! Лучше всё-таки поспать, а то работаю ночами, а тут хоть и лёгкие, а свои тонкости всё-таки есть.

Благодарю Вас!