"Интерстелларовская" пятимерная чёрная дыра

[SergeyGubanov]

Посмотрел "Интерстеллар", решил кое что проверить. Там пространство пятимерно: два времени, три расстояния. Благодаря этому обстоятельству главному герою фильма удалось выбраться из чёрной дыры.

В четырёхмерии метрика чёрной дыры в координатах Пэнлеве выглядит так:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(1) $$

Добавляем второе время: $\tau$. Теперь пространство событий пятимерно. Можно убедиться прямым вычислением в том, что следующая пятимерная метрика удовлетворяет пятимерным уравнениям Эйнштейна:

$$ ds^2 = d\tau^2 + dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(2) $$

Сечение $\tau = \operatorname{const}$ является обычной четырёхмерной чёрной дырой в которую провалился главный герой фильма. Легко видеть, что из такой "чёрной дыры" действительно можно выбраться. Для радиального движения имеем:

$$ ds^2 = \left[ \left( \frac{d\tau}{dt} \right)^2 + 1 - \left( \frac{dr}{dt} + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)^2 \right] dt^2. \eqno(3) $$

Делая величину $\left( \frac{d\tau}{dt} \right)^2$ сколь угодно большой можно зайти как угодно глубоко $r < r_g$ в "четырёхмерную чёрную дыру", а потом преспокойно выйти обратно.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #996038 писал(а):

Там пространство пятимерно: два времени, три расстояния.

Гм, не помню такого. Это действительно было в фильме? © Уна Андель

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #996038 писал(а):

а потом преспокойно выйти обратно.

А сразу в прошлое можно? без всякой дыры?

[Утундрий]

Geen в сообщении #996059 писал(а):

А сразу в прошлое можно? без всякой дыры?

А чего ж нельзя. Хоть десять раз. Наматывай себе петли в $t-\tau$ плоскости...

[Munin]

Утундрий в сообщении #996054 писал(а):

Гм, не помню такого.

Видимо, подразумевается то ненаблюдаемое плоское, в которое вложена червоточина.

[Утундрий]

Но было ли подобное упоминание в фильме?

[Munin]

Наверняка домысел нашего певчего ТС. (Я фильма не смотрел, если что.)

[Утундрий]

Я смотрел, но галопом. Художественно-социальная составляющая фильма впечатлила меня гораздо сильней естественно-научной, так что на последнюю я снисходительно закрывал глаза. Хотя там и есть к чему придраться.

[aa_dav]

Про пятимерность было, только не помню чтобы там было про 2 времени. А так на научную и даже логическую составляющую фильма я тоже усиленно фейспалмил. Чего только стоит "правый закрыло ушел под горизонт событий!".

[rockclimber]

Утундрий в сообщении #996089 писал(а):

Но было ли подобное упоминание в фильме?

Было, но не совсем такое. Там человечество в далеком будущем переехало в пятимерный мир на ПМЖ, а вокруг ГГ после проваливания под горизонт собрало 5-мерный куб (без уточнения, сколько там времен и пространств), чтобы он мог переслать сообщение самому себе в прошлое. Механизм выкидывания из дыры не сообщается.

[SergeyGubanov]

Можно убедиться прямым вычислением в том, что следующая пятимерная метрика удовлетворяет пятимерным уравнениям Эйнштейна:

$$ ds^{2}_{\pm, \pm} = c^2 dt^2 + c^2 d\tau^2 - \left( dr \pm \sqrt{\frac{2 k M_{t}}{r}} dt \pm \sqrt{\frac{ 2 k M_{\tau} }{r}} d \tau \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(4) $$

Здесь $M_{t}$ и $M_{\tau}$ - независимые друг от друга константы интегрирования.

Выбор знаков перед корнями:
1) $ds^{2}_{+,+}$ дважды чёрная дыра.
2) $ds^{2}_{+,-}$ чёрная дыра по $M_{t}$ и белая дыра по $M_{\tau}$.
3) $ds^{2}_{-,+}$ белая дыра по $M_{t}$ и чёрная дыра по $M_{\tau}$.
4) $ds^{2}_{-,-}$ дважды белая дыра.

P. S. Проверил, для шестимерия аналогичный анзац тоже работает:

$$ ds^{2}_{\pm, \pm, \pm} = c^2 dt^2 + c^2 d\tau^2 + c^2 d\xi^2 - \left( dr \pm \sqrt{\frac{2 k M_{t}}{r}} dt \pm \sqrt{\frac{ 2 k M_{\tau} }{r}} d \tau \pm \sqrt{\frac{ 2 k M_{\xi} }{r}} d \xi \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(5) $$

Здесь $M_{t}$, $M_{\tau}$ и $M_{\xi}$ - независимые друг от друга константы интегрирования.

Наверное этот анзац будет работать для любой размерности времени.

Прикольно, в многомерном времени возможны мульти чёрно-белые дыры.

P. P. S. Проверил для семимерия $7 = 4 + 3$, всё в порядке, аналогичный анзац работает и там.

[Portnov]

(Оффтоп)

А цветные!?

[KVV]

Дважды мимо.
Во-первых, Munin прав - дополнительное измерение там пространственное, а не временное. Если из фильма это можно как-то не понять, то в книге Торна The Science of Interstellar об этом четко говорится. А во-вторых, в фильме изображена вращающаяся черная дыра, а значит нужна метрика Керра. Метрика Шварцшильда (хоть и в координатах Пэнлеве) не подходит.

-- 30.03.2015, 20:15 --

aa_dav в сообщении #996268 писал(а):

А так на научную и даже логическую составляющую фильма я тоже усиленно фейспалмил. Чего только стоит "правый закрыло ушел под горизонт событий!".

Ну, вообщем-то гг падал в керровскую черную дыру по спирали с огромной поперечной скоростью, поэтому эта фраза не такая и ужасная.

Примечательно другое - то, как создатели фильма, включая Торна, подошли к моделированию изображений черной дыры и червоточины. Утверждается, что впервые в истории Голливуда они изображены так (ну, почти), как выглядели бы в реальности.

[rockclimber]

KVV в сообщении #998174 писал(а):

Утверждается, что впервые в истории Голливуда они изображены так (ну, почти), как выглядели бы в реальности.

Вот этот момент меня особенно умилил. С одной стороны, они даже смоделировали на компьютере хроматические абберации камеры, которой снимали фильм (то есть черную дыру показывали, как если бы ее снимали той же камерой, что и актеров), а с другой - всякий ужас типа бактерии, использующей азот в качестве окислителя при дыхании...

KVV в сообщении #998174 писал(а):

Во-первых, Munin прав - дополнительное измерение там пространственное, а не временное. Если из фильма это можно как-то не понять

Хм. А что, это можно понять из фильма? На мой взгляд, там вообще было сложно понять, что происходит. Главный герой летает с помощью реактивных двигателей скафандра в пространстве в трех измерениях, и в зависимости от того, куда летит, получает возможность посмотреть, что происходит в одной и той же области пространства (книжный шкаф у него дома), но в разных временах. Мое математическое мышление недостаточно развито для того, чтобы строго обосновать, сколько и каких пространственно-временных измерений ему было доступно.

[KVV]

rockclimber в сообщении #998233 писал(а):

Вот этот момент меня особенно умилил. С одной стороны, они даже смоделировали на компьютере хроматические абберации камеры, которой снимали фильм (то есть черную дыру показывали, как если бы ее снимали той же камерой, что и актеров), а с другой - всякий ужас типа бактерии, использующей азот в качестве окислителя при дыхании...

А я тут ниче не понял. Вроде патоген дышит азотом, а меньше становится кислорода...

rockclimber в сообщении #998233 писал(а):

Главный герой летает с помощью реактивных двигателей скафандра в пространстве в трех измерениях, и в зависимости от того, куда летит, получает возможность посмотреть, что происходит в одной и той же области пространства (книжный шкаф у него дома), но в разных временах.

Да там ясно, что этот куб штука рукотворная и технологическая, и время комнаты там разложено так, что меняется во всех трех перпендикулярных направлениях. Получается всего аж 4 "времени". : ) В общем не имеет он отношения к реальному пространству. О нем становится более-менее понятно из разговоров обоих физиков с гг, когда первый объясняет устройство и механизм работы червоточины, а второй упоминает вскользь о "пространстве за пределами наших трех измерений" во время полета через червоточину.