Evolution Differential Equations in Fr\'echet Space

[Oleg Zubelevich]

http://arxiv.org/pdf/1412.0651.pdf

abstract: We consider evolution differential equations in Fr\'echet spaces that possess unconditional Schauder basis and construct a version of the majorant functions method to obtain existence theorems for Cauchy problems. Applications to PDE and ODE have been considered.


comments are welcome

[Red_Herring]

Навскидку: к делу отношения не имеют работы Л.В.Овсянникова (см. симпатичный доклад С.Куксина http://www.math.polytechnique.fr/~kuksin/SomeTalks/Kowalevsk.pdf), J.Leray–Y.Ohya о нестрого гиперболических уравнениях в Классах Жевре (поздние 60ые, там они всякие мажорантные ряды писали) см., напр. https://eudml.org/doc/161535, и уж совсем древняя G.Duff http://cms.math.ca/10.4153/CJM-1959-024-1?

[Oleg Zubelevich]

Имеют разумеется. Особенно работы Леднева, Овсянникова и Ниренберга и Нишиды (на них сослался) и Миллионщикова. Работы Трева, Яманаки, имеют отношение. Работы по гиперболическим уравнениям в меньшей степени имеют отношение, тут только на Гарабедяна, наверное буду ссылаться. Введение , конечно, надо дописывать ,но полного обзора всеравно не получится.

-- Чт дек 04, 2014 00:35:06 --

Еще работы Дубинского, Смолянова.

[MiracleBeat]

That's right. It's good looking.

[sergei1961]

Ссылка на С.Куксина не работает.
По поводу эволюционных уравнений в пространствах Фреше-привожу часть из недавней переписки с одним хорошим математиком. Может быть заинтересуют ссылки. Претензий никаких нет- я в этой области не специалист, наверное, специалистам мои суждения покажутся тривиальными, а ссылки будут известны. И всё-таки.

Вот краткое изложение того, что я хотел ненавязчиво высказать, разумеется, без всяких попыток выглядеть умным или указывать другим, чем заниматься. Ну ты понимаешь.
Тезис: рассмотрения операторных дифуравнений в пространствах Гильберта или Банаха является достаточно ограниченным методом. За возможностями метода остаются многие важные задачи. Естественной средой для таких задач являются пространства Фреше.
Обоснование. Первые задачи, которые мы рассматриваем со студентами в курсах урмата, это задачи для колебания струны и теплопроводности. Где рассматриваем? В бесконечных областях-полупространстве, полосе. (Я имею в виду по пространству, время как всегда). Но уже эти простейшие задачи не формализуются по общей абстрактной схеме, так как областью определения любимого оператора A являются пространства цека или Соболева над полосой или полупространством-они НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ. Следовательно, не Гильберта и не Банаха. Но это естественные пространства Фреше.
С другой стороны, например, задачи о росте решений на бесконечности опять требуют подобных пространств и выхода из схемы. Таких задач немало.
Это не совсем моя позиция, она высказывалась в книгах Роберта Вейна Кэрролла, его или с Шоуолтером. Мы дружили с ним по переписке до его смерти в 2012 г., он присылал мне все свои книги, кроме последних-по общей теории всего-матфизике, теории поля и тд. Ну и конечно мне было очень важным то, что у него всегда явно использовались операторы преобразования, которые он активно пропагандировал, которыми я привык заниматься самими по себе.
На самом деле он создал многое в развитие теории абстрактных дифуравнений именно в пространствах Фреше. Дальше я разумеется намного меньше тебя знаю в этой области. Неужели это направление так и заглохло? И в обратных задачах никто не пробовал применить подход с Фреше?
Вот пара цитат. Из книги 1979 Carroll-Transmutation_and_Operator_Differential_Equations
CHAPTER 1 GENERAL TECHNIQUES
1.1 Preliminary results. In order t o deal with ODE having operator coefficients
there are many techniques available when F is a Banach or Hilbert space (see
Remark 1.9 for some references). However for various reasons, some of which are
connected with properties of solutions, it is essential to work in "larger" spaces
F, which for convenience will always be assumed to be complete, separated, locally convex topological vector spaces.

Из книги 1976 Carroll Showalter Singular_and_degenerate_Cauchy_problems

In this monograph we shall deal primarily with the Cauchy problem for singular or
degenerate equations of the form (u' = ut = du/dt)
(1.1) A(t)u„ +B(t)ut +C(t)u=g
where «(∙) is a function of t, taking values in a separated locally convex space E,
while A(t), B(t), and C(t) are families of linear…

1.6 EPD equations in general spaces. We go now to a
technique of Hersh [1; 2] in Banach spaces which was generalized
by Carroll [18; 19; 24; 25] to more general locally convex spaces
(cf. also Bragg [10], Carroll-Donaldson [20], Donaldson [1; 5],
Donaldson-Hersh [6], Hersh [3]). Thus let E be a complete
separated locally convex space and A a closed densely defined
linear operator in E which generates a locally equicontinuous
group …
We refer here to Komura [1] and
Dembart [1] for locally equicontinuous semigroups or groups and
remark that it is absolutely necessary to consider such groups in
"large" spaces E in order to deal for example with growth
properties of the solutions of certain differential equations (see also
for example Babalola [1], Komatsu [1], Lions [7], Miyadera [1],
Oucii [1], Schwartz [6], Waelbroeck [1], Yosida [1], etc. for
other "general" semigroups - for strongly continuous semigroups
in Banach spaces see Hi lie-Phi Hips [2]).

Так что смысл моего вопроса был такой. Не является ли возможно перспективным как одно из возможных дальнейшее продвижение в вашем классе задач от пространств Банаха и Гильберта к пространствам Фреше?

[Red_Herring]

sergei1961 в сообщении #996645 писал(а):

Обоснование. Первые задачи, которые мы рассматриваем со студентами в курсах урмата, это задачи для колебания струны и теплопроводности. Где рассматриваем? В бесконечных областях-полупространстве, полосе. (Я имею в виду по пространству, время как всегда). Но уже эти простейшие задачи не формализуются по общей абстрактной схеме, так как областью определения любимого оператора A являются пространства цека или Соболева над полосой или полупространством-они НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ. Следовательно, не Гильберта и не Банаха. Но это естественные пространства Фреше.

Уравнение колебания струны (как и любое гиперболическое уравнение) имеет конечную скорость распространения и поэтому вопросы роста на бесконечности по $x$ при ограниченном $t$ неинтересны.

Уравнение теплопроводности или Шредингера. Для них решение задача Коши нединственно если не накладывать некоторых условий на бесконечности.

Поэтому в обоих случаях пространства $C^k([0,T]\times \mathbb{R}^n)$ противоестественны. Пространства Фреше разумеется имеют свое применение в УЧП, но довольно ограниченное.

ПС. Утверждение о неполноте пространств Соболева над полосой—неверно. Пространства $C_b^k$ т.е. пространства непрерывных функций с производными до порядка $k$ ограниченными по $L^\infty$норме также полны.

[sergei1961]

C утверждениями неинтересны или противоестественны я не согласен, но спорить не буду. Тут у каждого свой опыт.

А почему пространства цека с ограничениями-это пространства Соболева? Кстати, им даже простейшие решения волнового уравнения $x\pm t$ не принадлежат, не так ли?

[Red_Herring]

sergei1961 в сообщении #996671 писал(а):

C утверждениями неинтересны или противоестественны я не согласен, но спорить не буду. Тут у каждого свой опыт.

Я обосновал, почему.

Цитата:

А почему пространства цека с ограничениями-это пространства Соболева?

А потому что Вы читать, очевидно, не умеете. Я не писал что они пространства Соболева, а написал что эти пространства также полны. И, кстати, "цека" это на каком языке?

Формулы должны быть оформлены TeXом (см правила форума). Капслок , кстати, тоже не приветствуется.

[sergei1961]

Где можно посмотреть ссылку, что пространства Соболева в полосе или полупространстве полны при естественных краевых условиях на функции?

[Red_Herring]

sergei1961 в сообщении #996975 писал(а):

Где можно посмотреть ссылку, что пространства Соболева в полосе или полупространстве полны при естественных краевых условиях на пробные функции?

В любом учебнике функционального анализа.

[sergei1961]

Любой: Колмогоров-Фомин, какая страница?

[Vince Diesel]

sergei1961 в сообщении #996975 писал(а):

Где можно посмотреть ссылку, что пространства Соболева в полосе или полупространстве полны при естественных краевых условиях на функции?

А что за краевые условия? Полнота пространств Соболева в произвольной области доказывается в книге Бесов, Ильин Никольский, "Интегральные представления функций и теоремы вложения".

[sergei1961]

Доказывается в ограниченной области с ограничениями на границу, для любой границы тоже неверно, кроме аш 1. Для всего пространства можно через Фурье. Для полупространства и полосы не знаю, буду благодарен за ссылку.
Краевые условия - тоже по делу. В полосе можно рассматривать функции с нулевыми условиями на прямых, с периодическими условиями, и с многими другими. Это разные пространства и результаты должны быть разные.

[Deggial]

sergei1961 в сообщении #996671 писал(а):

пространства цека

sergei1961 в сообщении #997054 писал(а):

аш 1

sergei1961, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich
Прошу прощения за оффтоп. Я буду только приветствовать если все относящееся к п-вам Соболева будет отрезано и перенесено в ПРР(М).

sergei1961 в сообщении #996998 писал(а):

Любой: Колмогоров-Фомин, какая страница?

Колмогоров и Фомин при всем уважении полноценным учебником не является. Это "Элементы" или "Introductory course"

Если хочется достаточно оригинальную ссылку: С.Л.Соболев "Некоторые применения..." стр 89 3го издания. Области описаны за пару страниц до того. При этом речь идет о $W^{(l)}_p(\Omega)$.

sergei1961 в сообщении #997054 писал(а):

Краевые условия - тоже по делу. В полосе можно рассматривать функции с нулевыми условиями на прямых, с периодическими условиями, и с многими другими. Это разные пространства и результаты должны быть разные.

Можно, но только определение есть стандартное: никаких ограничений. Если же накладывать нулевые условия на границе, то все сводится к $\mathbb{R}^n$.

Вообще существуют несколько разных определений. Сильное: $W^{(l)}_p(\Omega)$ это замыкание $C^l(\bar{\Omega})\cap W^{(l)}_p(\Omega)$ в норме $W^{(l)}_p(\Omega)$. Слабое: $u\in\mathcal{D}'(\Omega)$ т.ч. все обобщенные производные до порядка $l$ принадлежат $L_p(\Omega)$. Вопрос о полноте тривиальный; интересные вопросы: теоремы вложения, продолжениея и аппроксимации, а также интерполяция.