Теорема Ирншоу

[denny]

Подоплёка вопроса геометрическая. Интересуюсь поиском равномерных, симметричных распределений точек внутри окружности, квадрата и т.п.
Что-то вроде такого:



Подумал, что интересные конфигурации должны получаться, если считать окружность и точки заряженными,
с одинаковым знаком. И искать положение равновесия.
Сделал апплет на ГеоГебре. Для поиска равновесия применил простой метод релаксации:
на каждом шаге точка смещается вдоль вектора суммарной силы, действующей на неё;
величина смещения регулируется вручную, чтобы избежать расходимости.

И вроде всё получилось! Система очень быстро приходит к равновесию. Причём результаты могут быть разными.
Так, для 13-ти точек, кроме рисунка выше, есть ещё один вариант:



Самое удивительное, что эти конфигурации устойчивы - при небольших "шевелениях" возвращаются к равновесию.
А например, попытка поставить одну точку в центр (вроде бы симметричная конфигурация) не удаётся -
система к релаксирует к 2 или 3-м точкам в центре.
Разумеется, возможны повороты конфигураций относительно центра.
Только в этом смысле равновесие можно считать безразличным.

И тут я вспомнил про теорему Ирншоу.
Получается, такие конфигурации невозможны?!
Маловероятно, что ошибся в коде ГеоГебры.

Проверил на Wolfram Mathematica. Всё также. Вот, например линии поля и карта потенциала для трёх точек,
расположенных определённым образом.



Ясно, что 4-й заряд, помещённый во впадину потенциала, будет в равновесии.

В пояснениях к теореме Ирншоу говориться, что в электростатическом поле возможны только седловые точки потенциала.
Всё это вместе вызывает у меня чувство полного непонимания...

[Alex-Yu]

denny в сообщении #992385 писал(а):

В пояснениях к теореме Ирншоу говориться, что в электростатическом поле возможны только седловые точки потенциала.
Всё это вместе вызывает у меня чувство полного непонимания...

Судя по всему, дело в том, что Вы ограничили движение плоскостью рисунка. Совершенно очевидно, что если позволить зарядам двигаться перепендикулярно плоскости рисунка, то они улетят на бесконечность.

Так что теореме Ирншоу это все нисколько не противоречит. Ясно же, что седловую точку всегда можно рассечь так, что в сечении (!) будет минимум.

[denny]

Alex-Yu в сообщении #992393 писал(а):

Судя по всему, дело в том, что Вы ограничили движение плоскостью рисунка. Совершенно очевидно, что если позволить зарядам двигаться перепендикулярно плоскости рисунка, то они улетят на бесконечность.

Согласен. То есть эта теорема формулируется только для 3-х мерного случая?

UPD. Я понял. Это напоминает задачи о поле внутри заряженной сферы/кольца.
По фундаментальным причинам (теорема Гаусса) поле внутри сферы будет равно нулю.
Но теорема Гаусса, разумеется, верна только в 3-х мерном случае.
Поэтому поле внутри кольца отлично от нуля.

[Alex-Yu]

denny в сообщении #992396 писал(а):

Согласен. То есть эта теорема формулируется только для 3-х мерного случая?

Для любой размерности, если размерность движения совпадает с размерностью уравнения Лапласа, которому подчиняется электростатический потенциал. Но если взять трехмерный потенциал и двумерное движение, то может быть и минимум.

Собственно, это банальное свойство уравнения Лапласа:

$$ \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} = 0 $$

Предположим, что в некой точке минимум (или, с таким же успехом, максимум). Тогда все три (или сколько там размерность) вторые производные имеют один знак в этой точке. Но нельзя, суммируя величины одного знака, получить ноль (см. уравнение). Должны быть разные знаки, т.е. седловая точка.

-- Чт мар 19, 2015 16:22:08 --

kcp в сообщении #992400 писал(а):

А если немного переписать постановку задачи в сторону расчёта положения равновесия бесконечных заряженных прямых стержней в заряженной трубе, что-нибудь изменится?

Да, вроде, ответ понятен, если внимательно прочитать написанное выше.

[kcp]

denny в сообщении #992385 писал(а):

Подоплёка вопроса геометрическая. Интересуюсь поиском равномерных, симметричных распределений точек внутри окружности, квадрата и т.п.

...

Подумал, что интересные конфигурации должны получаться, если считать окружность и точки заряженными,
с одинаковым знаком. И искать положение равновесия.

А если немного переписать постановку задачи в сторону расчёта положения равновесия бесконечных заряженных прямых стержней в заряженной трубе, что-нибудь изменится?

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #992398 писал(а):

Собственно, это банальное свойство уравнения Лапласа:

$$ \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} = 0 $$

Предположим, что в некой точке минимум (или, с таким же успехом, максимум). Тогда все три (или сколько там размерность) вторые производные имеют один знак в этой точке. Но нельзя, суммируя величины одного знака, получить ноль (см. уравнение). Должны быть разные знаки, т.е. седловая точка.

Очень изящно, спасибо!

[Oleg Zubelevich]

ассоциируется вот с чем. Рассмотрим натуральную систему $L=T-V$ в которой $V$ -- гармоническая функция в $\mathbb{R}^m,$ снабженном метрикой кин. энергии. Следует ли из этого, что решения системы являются геодезическими на многообразии отрицательной кривизны? Если "да", то система эргодична на уровнях интеграла энергии

-- Сб мар 28, 2015 14:04:12 --

Alex-Yu в сообщении #992398 писал(а):

Предположим, что в некой точке минимум (или, с таким же успехом, максимум). Тогда все три (или сколько там размерность) вторые производные имеют один знак в этой точке.

а почему обязательно знак? вторые производные могут быть равны нулю, это наличию максимума не противоречит

[svv]

Тогда сошлемся на принцип максимума для гармонических функций.

[Oleg Zubelevich]

в том-то и дело , что как не прост принцип максимума , но настолько наивным способом его не получишь

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #996879 писал(а):

вторые производные могут быть равны нулю, это наличию максимума не противоречит

Если они все равны нулю, то придётся привлекать более сложные рассуждения. Но всё равно возможно: post997033.html#p997033 .

[Oleg Zubelevich]

про то, что возможно я и так знаю, это пишут в учебниках по дифурам. но если вы хотите предложить свое доказательство принципа максимума -- давайте обсудим.

[Munin]

Зачем мне предлагать своё? Я всего лишь сослался на то, что таковое уже есть. Задача передо мной: не найти оригинальное доказательство, а объяснить нечто простое другому человеку.