Условная вероятность

[Anton_Peplov]

Условная вероятность $P(A|B)$ - это вероятность события $A$ при условии, что $B$ произошло.
В случае, когда испытание имеет конечное число равновероятных элементарных исходов, для вероятности применяется "классическое определение" $P(B) = \frac{m}{n}$, где $n$ - полное число элементарных исходов и $m$ - число исходов, влекущих событие $B$. При этом $P(A|B)$ определяется так. Дано, что $B$ произошло, значит, возможны только те $m$ исходов, что влекут событие $B$. Пусть $k$ из них влекут и событие $A$. Тогда $P(A|B) = \frac{k}{m}$. Отсюда непосредственно следует теорема умножения вероятностей $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$.

Вопрос, как определяется условная вероятность, когда множество элементарных исходов $\Omega$ не предполагается конечным. Вероятность определяется как непрерывная мера, заданная на некоторой $\sigma$-алгебре подмножеств $\Omega$ (называемых событиями), такая, что $P(\Omega) = 1$. Кстати, поскольку не требуется, чтобы вероятность определялась на всех подмножествах $\Omega$, возможны подмножества, которые событиями не являются и вероятности не имеют. Сие забавно. Но вопрос не в этом, а в том, как определить условную вероятность. Правильно ли я понимаю, что единственный путь - разжаловать формулу $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ из теорем в определения? Или можно определить $P(A|B)$ так, чтобы эта формула была доказана?

[ShMaxG]

Эту формулу можно вводить как определение условной вероятности. Но мне кажется, в таком случае встает вопрос, почему эта вероятность равна вероятности события, при условии что какое-то другое событие абсолютно точно произошло. Ведь при решении задач, мы пользуемся этой формулой именно для того, чтобы посчитать $\mathbf{P}(AB) = \mathbf{P}(A|B)\mathbf{P}(B)$, а не условную вероятность.

Это уже обсуждалось, смотрите тему topic78358.html, и, в частности, мой ответ в ней.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #996710 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что единственный путь - разжаловать формулу $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ из теорем в определения?

Правильно. То, что такое определение имеет вполне определённую мотивацию -- вопрос совсем другой.

Anton_Peplov в сообщении #996710 писал(а):

возможны подмножества, которые событиями не являются и вероятности не имеют. Сие забавно.

А вот это уже смех без причины, знаете ли. Что поделать: есть в этом мире невозможные вещи.