Вы точно правильно понимаете всю процедуру? Формально она конечная, но многократные переходы к пределу делают её фактически счётной.
Кроме того, "сделать бесконечное число" описанных мною шагов и получить при этом "счётный ординал", как Вы говорите - не факт что получится. Мои шаги - неалгоритмизуемы. Точнее, как только у нас получается алгоритм такой процедуры, про который можно сказать "мы сделаем бесконечное число таких шагов", я тотчас же на следующем шаге отказываюсь от этого алгоритма, предполагаю его реализованным до бесконечности и строю ординалы дальше.
Например: был алгоритм - возведение в степень:
,
,
,
.
Мы видим, что шаги повторяются. Отказываемся от первоначального алгоритма и переходим к пределу этой последовательности, получаем
.
Дальше возводим:
,
,
,
. Вновь переходим к пределу, получаем
.
Дальше возводим:
,
,
,
. Переходим к пределу, получаем
.
Но тут (!) мы замечаем, что у нас наметился алгоритм: возводить в степень, затем переходить к пределу. Так мы получили уже четыре члена такой последовательности:
,
,
,
,
. Вместо того, чтобы дальше продолжать эту последовательность, мы отказываемся от этого алгоритма и сразу переходим к пределу ВСЕЙ этой последовательности. Пусть это оказался
.
Дальше будем возводить в степень уже
. Предел степеней
пусть будет
. Предел степеней
-
. Предел всех этих
с индексами -
, затем
,
и так далее. Пределом
,
,
и других пусть будет
.
Но рано или поздно, продолжая так делать, мы вновь увидим алгоритм, которому мы устойчиво следуем, уже во много раз более сложный, чем первоначальное возведение в степень: сначала
, потом
... Как только мы видим алгоритм, мы сразу дальше одним шагом продолжаем его до бесконечности, получаем новый ординал.
Неужели мы так не получим всех счётных ординалов?
----------
Наверное, надо пояснить, в чём смысл всей этой процедуры. Он прост: я хочу рассмотреть вообще ВСЕ МЫСЛИМЫЕ ординалы, которые можно как-то описать на человеческом языке, как-то определить, чтобы это было понятное для всех точное определение. Причём определение это должно быть (сколь угодно сложной) редукцией к
. Например, определение "множество всех счётных ординалов" не подойдёт.
Вот мне и интересно, совпадает ли это множество мыслимых ординалов со множеством счётных ординалов? или же среди счётных ординалов есть такие большие, что их невозможно описать на человеческом языке (конечным числом слов)?
-- 27.03.2015, 12:12 ------------
Agu, я написал это сообщение, когда не видел Вашей последней поправки. Итак, что Вы хотите сказать? На каждом шаге этой моей последовательности, пусть даже неалгоритмизуемой за счёт постоянной смены алгоритмов и перехода к более сложным, мы будем получать счётные ординалы. Таким образом, получится последовательность счётных ординалов. Но объединение всех этих счётных ординалов (которое уже выше возможностей нашего описания, именно из-за неалгоритмичности самой последовательности) также будет счётным ординалом, за которым есть другие счётные ординалы. Таким образом, моя гипотеза о совпадении классов описуемых (редуцируемых к
) и счётных ординалов неверна. Так?