ТФКП, Пространственные координаты, Евграфов 1.39

[Nurzery[Rhymes]]

В этом треде я буду бороться с прокрастинацией и понемногу решать упражнение 1.39 из Евграфова.
Пусть точка $M(z)$ имеет пространственные координаты $(\xi , \eta , \zeta)$. Найти пространственные координаты точек:

1. $M(-z)$
2. $M(\bar{z})$
3. $M(\frac{1}{z})$

1. Точка $M(-z)$ получается отражением точки $z$ относительно центра координат, то есть она находится в противоположном квадранте. Точно так же отражается прямая, проходящая с севера через поверхность сферы к этой точке. При этом координата $z$ проекции не меняется. Стало быть, координаты проекции получаются такими:

$\xi = -\frac{x}{1+|z|^2}$

$\eta = -\frac{y}{1+|z|^2}$

$\zeta = \frac{|z|^2}{1+|z|^2}$

Я прав?

[mihailm]

Ну да. В чем?

[Brukvalub]

Тем, у кого под рукой нет Евграфова, предлагается угадать, как именно у Евграфова определяется стереографическая проекция? (есть несколько способов ее определить, в результате получатся разные способы пересчета координат).

[Nurzery[Rhymes]]

mihailm в сообщении #996157 писал(а):

Ну да. В чем?

В определении координат этой точки.

-- 26.03.2015, 22:48 --

Brukvalub в сообщении #996158 писал(а):

Тем, у кого под рукой нет Евграфова, предлагается угадать, как именно у Евграфова определяется стереографическая проекция? (есть несколько способов ее определить, в результате получатся разные способы пересчета координат).

Расскажите, какие еще есть способы пересчета координат?
"Сборник задач по теории аналитических функций" М.А. Евграфов, второе издание

[Brukvalub]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #996159 писал(а):

...
Расскажите, какие еще есть способы пересчета координат?
"Сборник задач по теории аналитических функций" М.А. Евграфов, второе издание

См. учебники из этого списка.

[mihailm]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #996159 писал(а):

...В определении координат этой точки...

Упростим, пусть $(\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{5}{6})$ координаты $z$. Какие координаты у $\bar{z}$?

[Nurzery[Rhymes]]

mihailm в сообщении #996168 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #996159 писал(а):

...В определении координат этой точки...

Упростим, пусть $(\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{5}{6})$ координаты $z$. Какие координаты у $\bar{z}$?

Если по формулам выше, то $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{6},\frac{5}{6})$

Если обратным преобразованием получить алгебраическую форму этого числа, то имеем:

$x=-\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{6}}{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2} = -\frac{\frac{5}{18}}{\frac{5}{36}}=-2$

$y=-\frac{\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2} = -1$

$z = -2-i$

$\bar{z} = -2+i$

Вычислим пространственные координаты для $\bar{z}$:

$\xi = -\frac{2}{1+5}=-\frac{1}{3}$

$\eta = \frac{-1}{6} = -\frac{1}{6}$

$\zeta = \frac{5}{1+5} = \frac{5}{6}$

[mihailm]

Нормально. Теперь это же самое без вычислений)

[Nurzery[Rhymes]]

mihailm в сообщении #996174 писал(а):

Нормально. Теперь это же самое без вычислений)

Не понял, что это же самое. Я проекцию $\bar{z}$ нашел рассуждениями из первого поста, а потом проверил вычислениями.

[mihailm]

А почему рассуждений из первого поста не хватает?