Вы недопонимаете простой вещи: не каждый учебник - полностью излагает всё-всё-всё.
Допустим, мы переберём все возможные варианты и сочетания формальной формулировки СТО:
A - действительная ось времени;
B - мнимая ось времени;
I - ортогональные системы координат (даже ортонормированные);
II - произвольные линейные системы координат.
Тогда у нас получится четыре различных комбинации:
Вопросов два:
- какие выгоды и недостатки, плюсы и минусы, от данной формулировки;
- какие способы излагать в каком-то конкретном учебнике?
И что получается:
A.I - удобна для начального знакомства со СТО, для теории поля в рамках СТО;
A.II - не даёт преимуществ перед A.I в рамках СТО, удобна для перехода к ОТО;
B.I - несколько более удобна для теории поля в рамках СТО, чем A.I, но не для начального знакомства, неудобна для перехода к ОТО;
B.II - не имеет преимуществ перед A.II и B.I, только более неудобна.
Отсюда получаются три сорта учебников:
- учебники сорта
1 - не готовят к дальнейшей работе - излагают только
A.I;
- учебники сорта
2 - готовят к дальнейшей работе в теории поля и ОТО - излагают
A.I и
A.II;
- учебники сорта
2 - готовят к дальнейшей работе в теории поля, но не в ОТО (обычно в КТП) - излагают
B.I.
Излагать
B.II никому ни для чего не надо.
, а во втором это 
. Но я заметил, что в комплексной формулировки не различаются ко и контр вариантные проекции векторов. Следовательно можно сделать вывод, что в комплексной формулировки имеются лишь ортогональные системы координат. Спрашивается, а почему? Или я чего-то недопонимаю?