Я читал воспоминания Фейнмана о расследовании катастрофы "Челленджера". Там генерал Кутина подкинул Фейнману вопрос: а как меняется упругость резины на холоде? Фейнман задумался над этим, и выяснил, что резина твердеет (в тех условиях, о которых шла речь). Но это описано как ход мыслей со стороны эксперимента: надо выяснить, что происходит, и поставить опыт.
А я подумал, что можно было бы предсказать теоретически по этому поводу? Резина - очень сложный материал, так что давайте возьмём металл. Допустим, мы меняем его температуру, как должна меняться его упругость? И температура, и упругость связаны с фононами. Фононы - квазичастицы колебаний решётки, каждый фонон - как будто одно волнообразное колебание. Тепло - беспорядочные колебания решётки - может быть представлено как беспорядочный газ фононов, а упругая деформация - как несколько фононов, собравшихся вместе для увеличения величины отклонения. При этом, хотя фононы вообще говоря сложны, но здесь и то и другое связано с низкоэнергетическими акустическими фононами, которые довольно просты: они подчиняются дисперсионной зависимости
где
- скорость звука в материале.
На первый взгляд, два явления не удаётся увязать друг с другом. Температура приводит к заполнению кристалла фононами, но это не влияет на другие фононы - они не взаимодействуют друг с другом, а свободно проходят насквозь, как и фотоны в свете. На упругость повлияло бы изменение
свойств всей системы фононов - дисперсионной зависимости - но состояние этой системы (много тепловых фононов) не влияет на свойства.
Но можно копнуть глубже, и поискать приближение первого порядка малости. Всё со всем взаимосвязано - так может быть, и наполнение системы фононами влияет на её свойства? (Это было бы интересным явлением с точки зрения теории поля: например, похожим образом при понижении температуры Вселенной разделились электромагнитное и слабое взаимодействия.) Но как? Вот тут идёт догадка - без глубокого анализа, просто ассоциация. Кристалл при нагревании расширяется. Это происходит из-за давления фононов на стенки, как при надувании воздушного шарика. Интересно, а может ли общее расширение поменять свойства дисперсионной зависимости фононов?
Скорость звука легко понять на модели "цепочки грузиков и пружинок". Она связана с массой грузиков и упругостью пружинок. Пружинки в такой модели идеальны и никогда не меняют своей упругости - их взаимодействие описывается идеальной параболой
Но в реальном кристалле атомы между собой связаны не пружинками, а межатомными силами, и они ведут себя иначе: например, по закону типа
(но настоящего точного закона я не знаю) - это отталкивание вблизи, притяжение вдали, и исчезновение силы на бесконечности. Если атомы раздвинуть при такой качественной форме взаимодействия, то чем дальше они будут раздвинуты, тем слабее будут притягиваться. "Пружинки" будут слабеть по мере растяжения! Значит, влияние действительно есть.
И дальше можно догадаться о его знаке. Раз кристалл при нагревании растягивается, то и "пружинки" слабеют, а значит, и жёсткость самого кристалла должна ослабевать - он должен становиться более податливым к деформациям. А при холоде, наоборот, становиться более твёрдым. А скорость звука - как она должна меняться? Посмотрим для оценки на предельный случай: пусть "пружинки" ослабели до нуля, тогда волна по "цепочке грузиков и пружинок" вообще не пойдёт, её скорость станет нулевой (поскольку дисп. соотношение
линейное, то нас не волнуют различия между групповой и фазовой скоростью в этом рассуждении). Итак, при нагревании скорость звука должна уменьшаться, а при охлаждении - увеличиваться. Конус дисперсионного соотношения при нагревании расширяется, а при охлаждении сужается. Заодно, это повлияет и на другие свойства, например, на теплоёмкость (на фононную её часть! а в металлах бо́льшую роль играет электронная): при охлаждении она должна уменьшаться, а при нагревании - увеличиваться.
