Коровьев писал(а):
Необходимость доказана. Осталось за малым. Доказать, что их не существует.
Уважаемые господа Someone и Коровьев ! Конечно, всегда можно найти тройку чисел, удовлетворяющую неравенству

, и построить целочисленный треугольник, как прямоугольный, так и тупоугольный и остроугольный.
Теперь рассмотрим, может ли существовать целочисленный треугольник, если тройка чисел

удовлетворяет равенству

. Предположим, что может.
Рассмотрим треугольник с целочисленными сторонами

. Для любого такого треугольника справедлива теорема косинусов, в соответствии с которой

(1). C – угол, противолежащий наибольшей стороне

. Так как при любом

, -

, то

, и треугольник должен быть остроугольным.
Взяв два таких треугольника, сложив их сторонами

, получим равнобокую трапецию с боковым сторонами

, диагоналями

, нижним основанием

и верхним основанием, которое обозначим

.
Так как равнобокая трапеция является четырёхугольником, вокруг которого всегда можно описать окружность, то справедлива теорема Птолемея, в соответствии с которой

. (3).
В этом случае, так как справа число целое, то и число слева -

должно быть целым. Однако число

целым быть не может.
Докажем. Предположим, что оно целое. При взаимно простых

- числа

и

так же взаимно простые. Числа

и

не взаимно простые и имеют общий множитель

- (доказан, что должно быть

;

и мы имели бы

. Что бы

было целым при взаимно простых

и

-

должно делиться на

, но это невозможно, так как

- делитель

, а

взаимно просто с

, следовательно, равенство не возможно и

- целым быть не может.
Теперь предположим, что

рационально, то есть

, где

и

натуральные числа.
Тогда равенство (3) должно иметь вид:

(4).
Так как при

числа

и

не взаимно простые и имеют НОД равный

, то после сокращения на него получим равенство

(5).
В равенстве (5) правая часть – целое число, и что бы равенство имело место,

должно делиться на

. Таким образом должно быть

а

.
Так как

и

взаимно просты, то

на

не делится. Число

так же на

не делится. Следовательно число

не целое, а число

не только не целое, но и не рациональное. Треугольник не может быть целочисленным.
А противоречит это исходному предположению: тройка натуральных чисел

довлетворяет рвенству

.
Дед.