Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.

[sergei1961]

Как следствие разработанного мною давно некоторого метода для получения обобщений для дискретного и интегрального неравенств Коши-Буняковского было получено такое уточнение интегрального неравенства:

$$ \left(\int_a^b f(x)g(x)\ dx \right)^2 \le \int_a^b (max(f(x),g(x)))^2 \ dx \cdot \int_a^b (min(f(x),g(x)))^2 \le \int_a^b f^2(x)\ dx \cdot \int_a^b g^2(x)\ dx $$

Пусть все функции интегрируемы, даже гладкие, сейчас это не важно. Понятно, что содержательно только правое неравенство, левое-это обычное К-Б, так как $fg=\min(f,g)\cdot \max(f,g)$. Вопросы:

1) Это неравенство встречалось ранее? Если да, укажите, пожалуйста, ссылку.
2) Кроме того, что это следствие более общих неравенств, относительно простое независимое доказательство нашёл и сообщил мне тоже достаточно давно Анатолий Кореновский (Одесса). У этого неравенства есть совсем простые доказательства?

Рассчитываю на помощь, заранее спасибо.

[grizzly]

sergei1961
Спасибо за интересную тему. Благодаря ей мне удалось познакомиться с чем-то не очень сложным для понимания, но в то же время новым (для меня) и красивым. Редкая удача.

По этой ссылке можно познакомиться с рассматриваемым неравенством (Следствие 8.2 к Теореме 8) и более общими результатами, а также с аналогами в дискретном случае. Насчёт первого упоминания / использования я ничего сказать не могу -- подобные неравенства открывались и независимо переоткрывались различными математиками многократно. По умолчанию склонен доверять обзору автора упомянутой статьи.

По второму вопросу -- всё это не выглядит на первый взгляд слишком сложным в плане доказательств, здесь скорее сложность в оригинальном подходе и обнаружении более глубоких связей.

[ex-math]

Можно поискать в старой книжке "Неравенства" Харди-Литтлвуда-Пойа.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

grizzly
Спасибо за ссылку!

[sergei1961]

Ребята, спасибо за ссылку на мой обзор и хорошие слова о нём. Вот хочется найти ссылку на данное неравенство, что оно уже было. Пока такой ссылки не знаю, а я у многих хороших математиков спрашивал. Тут дело не в том, чтобы собой гордиться, а хочется выяснить вопрос до конца. Конечно, что такое неравенство было, вероятность большая, в виду его простоты.
А про доказательство-не такое оно и тривиальное. Найдёте совсем простое-буду благодарен. У меня оно как предельный случай получается из средних степенных или Радо. Там работало неравенство Чебышёва, тут прямого доказательства я пока найти похожим методом не могу.
Все классические книги по неравенствам я читал или просматривал, наверное, опять это не чтобы гордиться, а это одна из моих тем, обязан. Там этого неравенства нет. Тем более в ХЛП. Хотя действительно, первым шагом к этим обобщениям было неравенство Милна именно из ХЛП, но про это в обзоре честно написано.

[grizzly]

grizzly в сообщении #992596 писал(а):

По второму вопросу -- всё это не выглядит на первый взгляд слишком сложным в плане доказательств

sergei1961 в сообщении #992669 писал(а):

А про доказательство-не такое оно и тривиальное.

(это я над собой потешаюсь)
Ну значит одно из двух: или у Вас талант объяснять простым языком, концентрируясь на идеях, или Вы просто не потрудились набить себе цену одним из "400 относительно честных способов".

[ex-math]

sergei1961
Можно разбить отрезок точками, в которых $f(x)-g(x)$ меняет знак. Тогда вроде относительно просто выходит.

[sergei1961]

Спасибо, попробую, сразу не вижу.

[kp9r4d]

sergei1961
Так это ваш? Спасибо вам, обзор очень клёвый.

Оно же вроде очевидно, не? Если обе функции достаточно хорошие на отрезке, то они пересекаются в конечном числе точек, разбиваем отрезок интегрирования по этим точкам, задача сводится к такой:
пусть есть последовательности $x_i, y_i, i = 1..n$ и пусть $m_i = \min(x_i,y_i), M_i = \max(x_i,y_i)$ доказать:
$ (\sum_i m_i) (\sum_i M_i) \leqslant (\sum_i x_i) (\sum_i y_i)$

-- 19.03.2015, 20:01 --

Опередили.

[odelschwank]

Контрпример (ну или может я туплю, в любом случае, простите):

$[a, b] = [-1, 1]$, $f(x) = \operatorname{sign} x$, $g(x) = 0$

Тогда $\int_a^b (\max(f(x),g(x)))^2 \ dx = \int_a^b (\min(f(x),g(x)))^2 = 1$, а правая часть равна 0.

[ex-math]

odelschwank
Функции неотрицательные должны быть. В обзоре это отмечено.

-- 19.03.2015, 21:20 --

sergei1961
Для случая одной перемены знака на отрезке (как у Вас в "конвертике") разность левой и правой частей неравенства представляется в виде произведения интеграла от $f^2-g^2$ по одному отрезку и $g^2-f^2$ по второму, а это больше либо равно нуля.

[sup]

Простое доказательство такое. Пусть $h = \min(f,g) \geqslant 0$ и $d = \max(f,g) - \min(f,g) \geqslant 0$. Тогда для некоторой функции $\lambda(x)$ имеем $f = h + \lambda d$ и $g = h + (1-\lambda) d$. Причем функция $\lambda$ принимает только значения 0 и 1. В силу чего $\lambda^2 + (1-\lambda)^2 = 1$.
Ну а теперь подставляем все это и раскрываем скобки.

[ex-math]

sup
Действительно, просто и очень красиво!

[sup]

Само неравенство было для меня неожиданным. Я попробовал построить контрпример, а взамен нашел это доказательство.

[kp9r4d]

sup в сообщении #992902 писал(а):

В силу чего $\lambda^2 + (1-\lambda)^2 = 1$.

Почему?