задача для 8 класса

[sergei1961]

Вопрос не планировал, но глядя в Вашу последнюю подсказку он сам собой возникает-решить данное уравнение в целых числах. Но перебор знаков показывает, что такая задача сводится к двум задачам в натуральных числах-первая, которая в этой теме, а вторая со знаменателем $ab+1$, как она и возникла впервые в 80-е на международной матолимпиаде. Вроде во второй доказано, что дробь обязательно является полным квадратом, но не знаю, доведено ли исследование до логического конца: какие именно квадраты возможны, а для возможных описаны ли все множества решений.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #992531 писал(а):

доведено ли исследование до логического конца: какие именно квадраты возможны, а для возможных описаны ли все множества решений.

Да, всё это сделано. В частности, квадраты возможны любые.

[sergei1961]

nnosipov-спасибо, буду искать.

[nnosipov]

Давайте я напишу ответ. Если $(a^2+b^2)/(ab+1)=c$, где $c \geqslant 3$ и $1 \leqslant a \leqslant b$, то $c=t^2$ и $(a,b)=(tF_k(t^2),tF_{k+1}(t^2))$, $k=1,2,\dots$ Здесь

$$ F_k(c)=\frac{\varepsilon^k-\varepsilon^{-k}}{\varepsilon-\varepsilon^{-1}}, \quad \varepsilon=\frac{c+\sqrt{c^2-4}}{2}. $$

$F_k(c)$ --- это многочлены от $c$ с целыми коэффициентами, для них справедлива рекуррентная формула

$$ F_{k+1}(c)-cF_k(c)+F_{k-1}(c)=0, \quad F_0(c)=0, \quad F_1(c)=1. $$

[sergei1961]

Супер. Где это можно посмотреть?