Возможность опровергнуть теорему Гёделя

[maximk]

Что если существует недоказуемое утверждение (среди тех, которые можно построить специальным образом), для которго существует доказательство (будь то доказательство с помощью аналитического, алгебраического или другого метода например в теории чисел) в рамках той же теории, в которой утверждение формулировалось, в противоречие с теоремой Гёделя?
Как-то находил информацию о какой-то конкретной недоказуемой проблеме в теории чисел (может кто знает, о каком утверждении идет речь, неплохо бы ссылку).
Я не специалист, но хочется разобраться.

[Sonic86]

maximk в сообщении #990171 писал(а):

Возможность опровергнуть теорему Гёделя

Нет возможности.

maximk в сообщении #990171 писал(а):

Что если существует недоказуемое утверждение (среди тех, которые можно построить специальным образом), для которго существует доказательство (будь то доказательство с помощью аналитического, алгебраического или другого метода например в теории чисел) в рамках той же теории

Не существует по теореме Геделя.

[Geen]

maximk в сообщении #990171 писал(а):

существует недоказуемое утверждение, для которго существует доказательство

Не могли бы Вы пояснить это положение?

[maximk]

По теореме Гёделя существуют теории, в которых существуют недоказуемые утверждения (то есть такие, для которых не существует вывода их истинности или ложности). Я предлагаю рассмотреть множество таких рассуждений и доказать (хотя бы) существование такого утверждения из этого множества, что для него существует вывод его истинности или ложности.

Рассмотрим такую ситуацию. Предположим, что нашлось доказательство гипотезы Римана (проверенное по всем правилам строгости, исключая человеческие факторы и прочие, противоречащие истинности гипотезы), а через некоторое время была доказана ее недоказуемость (автор такого доказательства еще не знал о том, что некто доказал ее истинность). Я утверждаю, что возможен тот факт, что ее доказательство (ее истинности) было найдено в той же теории, в которой она (гипотеза) формулировалась.

-- 14.03.2015, 15:30 --

Но, увы, пока доказать своего предположения не могу (и не факт, что когда-нибудь смогу или хотя бы начну этим заниматься, но это и не значит, что кто-то другой этим не займется и не сможет решить этой задачи, например даже не предъявляя самого вывода истинности гипотезы Римана, а просто доказательства ее доказуемости (неконструктивный подход), что возможно и неверно и еще маловероятнее, чем конструктивный вывод (аналитический или еще какой-либо)).

[INGELRII]

Я правильно понимаю, что вы предлагаете рассмотреть множество всех нечетных чисел, и доказать существование среди них такого, что оно без остатка делится на два?

[Nemiroff]

maximk в сообщении #990171 писал(а):

Как-то находил информацию о какой-то конкретной недоказуемой проблеме в теории чисел (может кто знает, о каком утверждении идет речь, неплохо бы ссылку).

Теорема Гудстейна?

maximk в сообщении #990171 писал(а):

Что если существует

Да-а-а, теорема Гёделя. Сформулируйте её, пожалуйста.

[Brukvalub]

maximk в сообщении #990171 писал(а):

...
Я не специалист, но хочется разобраться.

Вот и начните прямо сейчас разбираться, при этом перестаньте ахинею нести!
Точно сформулируйте т. Геделя, в которой вы "не специалист, но хотите разобраться", мы зададим доп. вопросы по используемым в формулировке понятиям, может, так в конце концов и разберетесь.
Пока же ваши вопросы ни в какие ворота не лезут.

[alex_dorin]

Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики не дает никаких конструктивных данных о возможности доказательства или отсутствии такового для любого
конкретного предложения этой самой арифметики.

[AGu]

alex_dorin, вот это Вы сейчас к чему сказали? Вы поняли вопрос топикстартера? Тогда, пожалуйста, ответьте на него.

[alex_dorin]

Как я понял, у автора был 1 - вопрос и 2 - желание понять теорему Геделя - как я понял, имелась в виду теорема Геделя о неполноте формальной арифметики.
Я написал о 2.

[ИСН]

У автора не было желания понять теорему Гёделя. Было желание её сразу опровергнуть

[maximk]

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.
Я правильно понял, что она невыводима и неопровержима только в рамках теории, в которой формулировалась, но существует теория такая, что в ней ее истинность или ложность (что зависит от самой теории) доказуема?
Ну как минимум можно создать такую теории, в которой это утверждение (или ее отрицание) будет аксиомой... Впрочем, можно построить и более содержательную теорию, в которой проблема разрешима.
В рамках аналитической и алгебраической теории чисел используется арифметика Пеано? Если использовать арифметику второго порядка, то чем прийдется пожертвовать? Какова аксиоматика арифметики второго порядка?
Nemiroff, да, теорема Гудстейна.

[Sonic86]

maximk в сообщении #990716 писал(а):

Я правильно понял, что она невыводима и неопровержима только в рамках теории, в которой формулировалась, но существует теория такая, что в ней ее истинность или ложность (что зависит от самой теории) доказуема?

Да.

maximk в сообщении #990716 писал(а):

Ну как минимум можно создать такую теории, в которой это утверждение (или ее отрицание) будет аксиомой...

Да.

maximk в сообщении #990716 писал(а):

Впрочем, можно построить и более содержательную теорию, в которой проблема разрешима.

Ха-ха, а что такое "более содержательная теория"?

maximk в сообщении #990716 писал(а):

В рамках аналитической и алгебраической теории чисел используется арифметика Пеано?

Офигенный вопрос. Во-первых, в каком смысле используется? Синтаксически или как основание? Далее, Вы аналитическую и алгебраическую теорию чисел видели? Кроме того, сумеете ли Вы определить предикат "утверждение $x$ относится к разделу математики $C$"?

[maximk]

Ваш вопрос о содержательности вполне ожидаем. Пускай это понятие так и останется в кавычках.
Вопрос и о синтаксисе, и об основании (в чём разница?). Тогда вопрос о том, какая арифметика используется в анализе и какая в алгебре.

[AGu]

maximk в сообщении #991065 писал(а):

Тогда вопрос о том, какая арифметика используется в анализе и какая в алгебре.

А также в рисовании, физкультуре и ОБЖ...

Пеанистая она, пеанистая.

(Не обижайтесь, тут просто народ стебается. Но Вы сами виноваты. Вопросики у Вас, право, еще те. Отдельные слова, вроде, умные, но сочетаются они, мягко говоря, своеобразно.)