Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта

[Ingus]

При решении нелинейных ДУ, описывающих поведение математического и сферического маятников, мы получаем зависимость координат от времени виде синуса Якоби. Это весьма непростая функция, которая, тем не менее, представима в виде ряда Фурье:
$sn(x,k)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a(n,k)\sin(\omega(n,k)x)$, где
$a(n,k)=\frac{2\pi}{K(k) k}\frac{q(k)^{n-\frac{1}{2}}}{1-q(k)^{2n-1}}$
$\omega(n,k)=\frac{(2n-1)\pi}{2K(k)}$
$K(k)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(x)}}$
$K'(k)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-(1-k^2) \sin^2(x)}}$
$q(k)=\exp\left(-\pi\frac{K'(k)}{K(k)}\right)$
В некотором смысле $k$ обозначает степень нелинейности процесса. Попутно спрошу: при каких $k$ процесс можно еще считать линейным?
Рассмотрим сильно нелинейный процесс $k=0.9$:
Синус Якоби раскладывается по нечетным гармоникам, кратным основной с периодом 4K(k).
коэффициенты ряда Фурье :
$a(1,0.9)=1.091$, $a(2,0.9)=0.1$, $a(3,0.9)=0.01$, $a(4,0.9)=0.001$
Мы видим, что первая гармоника имеет амплитуду больше 1.
Вопросы. Если мы будем детектировать сигнал типа синуса Якоби, обнаружим ли мы колебание с амплитудой больше, чем амплитуда самого сигнала, а также будут ли "слышны" кратные гармоники 3 и 5?
И можно ли для качественного описания движений системы заменять синус Якоби на синус? Так, скажем, восходящие и нисходящие узлы траектории совпадают, а как тело движется между ними не столь важно, особенно в задачах с осреднением...Правильно?

[Oleg Zubelevich]

Ingus в сообщении #989990 писал(а):

И можно ли для качественного описания движений системы заменять синус Якоби на синус?

я Вам секрет открою: для качественного описания движения системы не нужно ничего из того, чтто Вы тут понаписали

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #990015 писал(а):

я Вам секрет открою: для качественного описания движения системы не нужно ничего из того, чтто Вы тут понаписали

Спасибо. Для такого как я весь теормех состоит из секретов. Один Вы открыли. Для качественного описания движения маятника ни синус Якоби, ни просто синус не нужен. А что нужно?

-- 14.03.2015, 13:06 --

Да и вопрос то основной не про качество, а про количество... Какова физическая интерпретация разложения синуса Якоби в ряд Фурье? Можно ли детектировать "усиление" первой гармоники? Будут ли фиксироваться кратные гармоники?

-- 14.03.2015, 13:07 --

И еще. Есть теорема о единственности разложения функции в гармонический ряд?

[Munin]

Ingus в сообщении #990158 писал(а):

Для качественного описания движения маятника ни синус Якоби, ни просто синус не нужен. А что нужно?

Фазовый портрет?

[Ingus]

Munin в сообщении #990189 писал(а):

Фазовый портрет?

Спасибо огромное. Открыл для себя Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. Пер. с нем.— М.: Мир, 1982.— 304 с. "может оказаться, что единственным методом исследования таких колебаний (описываемых нелинейными ДУ) является метод фазовой плоскости"

[Munin]

А вы можете открыть что-нибудь простое и неэкзотическое? Я не знаю, где вы разыскиваете те книги, которые открываете, но меня вгоняет в ступор - почему? почему вы не читаете нормальной литературы? Почему вы не учитесь как все? Что за дикость?

[Ingus]

Munin в сообщении #990272 писал(а):

Я не знаю, где вы разыскиваете те книги, которые открываете

видимо их ротирует яндекс в первые строчки. я ввел "фазовый портрет" - и вывалилось это. я не учусь как все, потому что мне кажется, что у меня мало времени... (не подумайте, что свободного). я пока испытываю радость, открывая "секреты"

Oleg Zubelevich в сообщении #990015 писал(а):

я Вам секрет открою:

.
А каково Вам, там на глубине, где уже и рыб нет?
Я бы очень хотел оказаться там на глубине, и вытащить со дна на свет какую-нибудь диковину. Может даже защититься. Но важно понять где нырять.

[Munin]

Ingus в сообщении #990531 писал(а):

видимо их ротирует яндекс в первые строчки. я ввел "фазовый портрет" - и вывалилось это.

Ничего не могу посоветовать, кроме "не пользуйтесь яндексом".

Ingus в сообщении #990531 писал(а):

я не учусь как все, потому что мне кажется, что у меня мало времени...

Вообще-то именно путь "как все" рассчитан на тех, у кого мало времени. Тот, кто с него сходит - тот заведомо потратит времени больше (а откроет меньше).

Ingus в сообщении #990531 писал(а):

Я бы очень хотел оказаться там на глубине, и вытащить со дна на свет какую-нибудь диковину. Может даже защититься. Но важно понять где нырять.

Для начала, надо понять, что сразу на глубину нырнуть невозможно. Надо начинать с мелкой глубины, и постепенно увеличивать. Вопрос "где нырять" вторичный.

[Ingus]

Munin в сообщении #990537 писал(а):

Надо начинать с мелкой глубины, и постепенно увеличивать

Мой план таков?:
"Если хотите доказать что-то - докажите делом. Возьмите, например, Матвеев "Механика и теория относительности", прочитайте, решите все задачи. Времени на это вам потребуется не меньше, чем 2 месяца. Можно потратить и больше, главное - не бросать. По мере возникновения вопросов, можете обращаться на форум за консультациями.

Можно пропустить: §§ 13, 14, 15-18 (всю главу 4), §§ 41, 45, 47. Это всё, что связано со СТО (вам это здесь не нужно). Соответствующие задачи тоже пропускаете.

Потом можно будет почитать Ландау-Лифшица "Механика" и кое-что ещё (Белецкого того же)."

[guryev]

Уточнение: если рассматривать большие плоские колебания математического маятника (точечный груз на невесомом жёстком подвесе, потерь нет), то зависимость от времени $t$ угла отклонения маятника от положения равновесия $\varphi$ описывается формулой

$$\varphi=2\arcsin( k\cdot\text{sn} (\tau, k)),$$

где $\tau=\sqrt{\frac{g}{l}}t$, $l$ - длина подвеса, $g$ - ускорение свободного падения; $k=\frac{v_0}{2\sqrt{lg}}$, $v_0$ - скорость груза в положении равновесия. Это всё - для колебательного процесса $(|k|<1)$ и экзотического случая, когда маятник перевернулся и встал вверх тормашками $(|k|=1)$.

Эта функция несколько отличается от $\text{sn}$ и дополнительные гармоники будут меньше, чем у него (у $\text{sn}$ экстремумы "пошире", чем у синуса, но $\arcsin$ их "заостряет").

[Ingus]

guryev в сообщении #990694 писал(а):

Эта функция несколько отличается от $\text{sn}$ и дополнительные гармоники будут меньше

Зато у сферического маятника по координате $z$ "чистый" $sn$. точнее $sn^2$.

guryev в сообщении #990694 писал(а):

$k=\frac{v_0}{2\sqrt{lg}}$, $v_0$ - скорость груза в положении равновесия

А еще $k=\sin(\frac{\phi_0}{2})$, если отпускаем маятник без начальной скорости с угла $\phi_0$
Спасибо за комментарий. Но основной вопрос темы остается без ответа.

[Oleg Zubelevich]

Освойте два баазовых интсрумента исследования лагранжевых систем:
1) в системах с одной степенью свободы научитесь строить фазовый портрет по заданному потенциалу
2) в системах с двумя и более степенями свободы освойте понижение порядка по Раусу и приеденный потенциал
Сферический маятник исследуется комбинацией этих двух приемов. Потом исследуйте таким же образом волчок Лагранжа.
Учебники: ЮФ Голубев Основы теор мех; Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор мех

[Munin]

Ingus в сообщении #990632 писал(а):

Мой план таков?

Неплохой план. После него, можете читать учебники, предложенные Oleg Zubelevich. А вот до него - я бы не советовал.

[Ingus]

Спасибо Oleg Zubelevich. Спасибо Munin. Начну с Матвеева. 2 месяца не срок)