Непрерывная дифференцируемость простых корней алг. уравнения

[wormer]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться со следующим вопросом.

Дано алгебраическое уравнение $n$ степени с коэффициентами над полем комплексных чисел:
$z^n + a_1 z^{n-1} + \ldots + a_n = 0$.

На форуме обсуждалось, что его корни являются непрерывными функциями коэффициентов. Кроме того известно, что если все корни простые, то они являются непрерывно дифференцируемыми функциями аргументов уравнения.

Верно ли, что, если у уравнения имеются кратные корни, то все его простые корни будут оставаться непрерывно дифференцируемыми функциями (как функции комплексного аргумента) в некоторой достаточно малой окрестности $B(a)$ точки $a = (a_1, \ldots, a_n)$? Это более менее очевидно, но я затрудняюсь со строгим доказательством этого факта. Каким образом это можно показать?

[ewert]

Просто по теореме о неявной функции: простота корня в точности означает, что производная по нему не равна нулю.

[wormer]

О! Спасибо большое! Оказывается, все очень просто

P.S. Только теорема о неявной функции обычно формулируется для действительных отображений. Или я не прав? Как можно адаптировать ее для комплексных чисел? Получается, все-таки надо рассмотреть двумерный якобиан, который не равен нулю вследствие условий Коши-Римана, так? Можно ли как-то проще?

[bot]

wormer в сообщении #990025 писал(а):

Как можно адаптировать ее для комплексных чисел?

А разве тупо расписать на действительную и мнимую часть не получится?

[Padawan]

wormer в сообщении #990025 писал(а):

P.S. Только теорема о неявной функции обычно формулируется для действительных отображений. Или я не прав?

Есть версии и для комплексных аналитических функций. Доказываются обычно через разложение в ряд и доказательство сходимости этого ряда. Кстати, для вещественно-аналитического случая есть в Фихтенгольце (п. 450 Решение уравнений рядами). В комплексном случае то же самое.

Можно и чисто вещественной теоремой воспользоваться: доказать, что для обратной функции условия Коши-Римана выполняются, а значит, она тоже будет комплексно-аналитической. А для функции нескольких переменных -- проверить, что они выполняются по каждой переменной. Тогда по теореме Гартогса она будет комплексно-аналитической по совокупности переменных.