2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывная дифференцируемость простых корней алг. уравнения
Сообщение13.03.2015, 12:00 


05/05/14
19
Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться со следующим вопросом.

Дано алгебраическое уравнение $n$ степени с коэффициентами над полем комплексных чисел:
$z^n + a_1 z^{n-1} + \ldots + a_n = 0$.

На форуме обсуждалось, что его корни являются непрерывными функциями коэффициентов. Кроме того известно, что если все корни простые, то они являются непрерывно дифференцируемыми функциями аргументов уравнения.

Верно ли, что, если у уравнения имеются кратные корни, то все его простые корни будут оставаться непрерывно дифференцируемыми функциями (как функции комплексного аргумента) в некоторой достаточно малой окрестности $B(a)$ точки $a = (a_1, \ldots, a_n)$? Это более менее очевидно, но я затрудняюсь со строгим доказательством этого факта. Каким образом это можно показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дифференцируемость простых корней алг. уравнения
Сообщение13.03.2015, 13:19 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Просто по теореме о неявной функции: простота корня в точности означает, что производная по нему не равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дифференцируемость простых корней алг. уравнения
Сообщение14.03.2015, 00:42 


05/05/14
19
О! Спасибо большое! Оказывается, все очень просто :-)

P.S. Только теорема о неявной функции обычно формулируется для действительных отображений. Или я не прав? Как можно адаптировать ее для комплексных чисел? Получается, все-таки надо рассмотреть двумерный якобиан, который не равен нулю вследствие условий Коши-Римана, так? Можно ли как-то проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дифференцируемость простых корней алг. уравнения
Сообщение14.03.2015, 05:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
wormer в сообщении #990025 писал(а):
Как можно адаптировать ее для комплексных чисел?

А разве тупо расписать на действительную и мнимую часть не получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дифференцируемость простых корней алг. уравнения
Сообщение14.03.2015, 06:14 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
wormer в сообщении #990025 писал(а):
P.S. Только теорема о неявной функции обычно формулируется для действительных отображений. Или я не прав?

Есть версии и для комплексных аналитических функций. Доказываются обычно через разложение в ряд и доказательство сходимости этого ряда. Кстати, для вещественно-аналитического случая есть в Фихтенгольце (п. 450 Решение уравнений рядами). В комплексном случае то же самое.

Можно и чисто вещественной теоремой воспользоваться: доказать, что для обратной функции условия Коши-Римана выполняются, а значит, она тоже будет комплексно-аналитической. А для функции нескольких переменных -- проверить, что они выполняются по каждой переменной. Тогда по теореме Гартогса она будет комплексно-аналитической по совокупности переменных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group