Главные идеалы

[greg2]

В задаче необходимо решить является ли идеал $\mathbb{Z}[x]$, порождаемый элементами $x^3-1, x^5-1$ главным или нет.

Я рассуждал так: если он главный, то элемент, порождающий этот идеал, должен делить как первый, так и второй многочлен; такой делитель у них только один $x-1$ - единственный претендет. В таком случае, если данный идеал действительно главный, то должны существовать такие $f,g \in \mathbb{Z}[x]$, что выполняется $(x^3-1)f+(x^5-1)g=x-1$ или эквивалентно $(x^2+x+1)f+(x^4+x^3+x^2+x+1)g=1$. А как понять существуют ли такие $f,g$? Понятно, что такие многочлены существуют над полем рациональных чисел, но насчет целых не уверен. Как это показать?

[nnosipov]

greg2 в сообщении #988784 писал(а):

Понятно, что такие многочлены существуют над полем рациональных чисел, но насчет целых не уверен.

А найти эти многочлены не пробовали? Хотя бы с рациональными коэффициентами. Вдруг они окажутся на самом деле с целыми.

[greg2]

проверил до общей степени 7(после перемножения) - таких многочленов нет даже для рациональных чисел. Если взять абстрактну степень $n$, то там выходят очень сложные вещи, что сложно решить есть ли такие целые числа или нет

[nnosipov]

greg2 в сообщении #988852 писал(а):

проверил до общей степени 7(после перемножения) - таких многочленов нет даже для рациональных чисел

Но Вы же сами пишите, что они есть:

greg2 в сообщении #988784 писал(а):

Понятно, что такие многочлены существуют над полем рациональных чисел

Ищите тщательнее.

[Evgenjy]

greg2 в сообщении #988784 писал(а):

$(x^2+x+1)f+(x^4+x^3+x^2+x+1)g=1$. А как понять существуют ли такие $f,g$?

Алгоритм Евклида.

[greg2]

nnosipov в сообщении #988858 писал(а):

greg2 в сообщении #988852 писал(а):

проверил до общей степени 7(после перемножения) - таких многочленов нет даже для рациональных чисел

Но Вы же сами пишите, что они есть:

greg2 в сообщении #988784 писал(а):

Понятно, что такие многочлены существуют над полем рациональных чисел

Ищите тщательнее.

Ну, я не говорил, что я нашел или могу найти такой многочлен Я только сказал, что он существует - об этом говорит теорема, что в области главных идеалов(а многочлены над полем - область главных идеалов) будут существовать такие элементы для каждого элемента из набора данных элементов, что, перемноженные таким образом, как мы имеем, мы можем получить в сумме наибольший общий делитель.

-- 11.03.2015, 21:01 --

Evgenjy в сообщении #988862 писал(а):

greg2 в сообщении #988784 писал(а):

$(x^2+x+1)f+(x^4+x^3+x^2+x+1)g=1$. А как понять существуют ли такие $f,g$?

Алгоритм Евклида.

Но как он поможет найти эти многочлены?

[nnosipov]

greg2 в сообщении #988868 писал(а):

Но как он поможет найти эти многочлены?

Это называется расширенный алгоритм Евклида. Также можно применить метод неопределённых коэффициентов. Наконец, их можно тупо подобрать без всяких методов.

[greg2]

Ну подобрать это как-то несерьезно.

А насчет расширенного алгоритма спасибо, о нем я не слышал.