Уравнение p/q-q/p+r/s-s/r=7/2

[scwec]

Найдите хотя бы одно решение уравнения $\dfrac{p}{q}-\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{s}-\dfrac{s}{r}=\dfrac7 2$ в натуральных числах $p,q,r,s$ таких, что $pq=rs$.

[Lukum]

Вроде нет таких.

[scwec]

Lukum в сообщении #988282 писал(а):

Вроде нет таких.

Таких четверок существует бесконечно много. Конечно, $(q,p)=(r,s)=1$.

[ИСН]

${220\over39} - {39\over220} + {60\over143} - {143\over60}$, например.

[scwec]

Ответ верный, соответствует рациональной точке $(67/4,33)$ на кривой $w^2=u^3-3211/16\cdot{u}-7965/32$. Поскольку рациональных точек на этой кривой бесконечное число, то и четверок бесконечно много.
Интересно тут вот что.
Докажите, что если $p/q-q/p+r/s-s/r=m/n$, где $p,q,r,s,m,n$ натуральные числа, то существует четверка натуральных чисел $p_1,q_1,r_1,s_1$ такая, что $p_1/q_1-q_1/p_1+r_1/s_1-s_1/r_1=m/n$ и $p_1{q_1}=r_1{s_1}$.

[scwec]

В предыдущем сообщении убрал условие взаимной простоты числителей и знаменателей.
Т.е. разрешается $\gcd(p_1,q_1)>1$, $\gcd(r_1,s_1)>1$.

[maxal]

scwec в сообщении #988438 писал(а):

Докажите, что если $p/q-q/p+r/s-s/r=m/n$, где $p,q,r,s,m,n$ натуральные числа, то существует четверка натуральных чисел $p_1,q_1,r_1,s_1$ такая, что $p_1/q_1-q_1/p_1+r_1/s_1-s_1/r_1=m/n$ и $p_1{q_1}=r_1{s_1}$.

Что мешает взять $(p_1,q_1,r_1,s_1)=c\cdot (p,q,r,s)$ ?

[scwec]

maxal в сообщении #990389 писал(а):

Что мешает взять $(p_1,q_1,r_1,s_1)=c\cdot(p,q,r,s)$ ?

То, что $pq$ не обязано равняться $r{s}$.
Для начального вопроса $3/2-2/3+3/1-1/3=7/2$,
$p=3,q=2,r=3,s=1$. Возможные значения для $p_1,q_1,r_1,s_1$
привел ИСН

[scwec]

Без ограничения общности примем, что $p/q>r/s$.
Положим $p_1=(q^2+p^2)(qs+pr)rs$, $q_1=(s^2+r^2)(ps-qr)pq$,
$r_1=(q^2+p^2)(ps-qr)rs$, $s_1=(s^2+r^2)(pr+qs)pq$.
Тогда $p_1,q_1,r_1,s_1$ - натуральные числа, $p_1{q_1}=r_1{s_1}$
и $p_1/q_1-q_1/p_1+r_1/s_1-s_1/r_1=p/q-q/p+r/s-s/r=m/n$.
Т.о. $p_1,q_1,r_1,s_1$ искомая четверка.

[maxal]

scwec, расскажите лучше, как до таких выражений додуматься.

[scwec]

maxal в сообщении #991645 писал(а):

scwec, расскажите лучше, как до таких выражений додуматься.

Коротко, как были найдены выражения для $p_1,q_1,r_1,s_1$.
Пусть $p/q-q/p+r/s-s/r=m/n$
Рассмотрим уравнение эллиптической кривой $(x+y)(xy-1)-xym/n=0\qquad(1)$.
Известно одно его рациональное решение $x=p/q$, $y=r/s$ т.е. рациональная точка $P(x,y)=(p/q,r/s)$ на кривой $(1)$.
Координаты точки $2P$ дают выражения для $p_1,q_1,r_1,s_1$.
Воспользовавшись Mapl для перехода к Вейерштрассовой форме в $(1)$ и Pari для нахождения координат $2P$,
это наблюдение легко проверить.
Догадался об этом, когда увидел, что ранги кривых $(1)$ и $(x^2-1)(y^2+1)-xym/n=0$ совпадают.