Линейные операторы

[fronnya]

Нам начали читать линейные операторы, а для чего они нужны, не сказали. Начали давай понятие отображения, и т.д. .. Сказали лишь, что потом на 3 курсе это будет у нас в квантовой механике. Так для чего они нужны все таки? Я не могу браться за работу с ними, не поняв, с чем я работаю и зачем.

[Red_Herring]

fronnya
Скоко мы с Вами разбирались с матрицами? Так они простейший пример таких операторов.

Линейные операторы нужны везде в математике, во многих областях физики (не только в квантах), например собственные значения их могут служить квадратами частот (т.е. распространение эл./м. волн, МСС, колебания). Если хотите подробнее, колитесь: в каком курсе и в каком ключе Вам их начали излагать

[fronnya]

Red_Herring в сообщении #987490 писал(а):

fronnya
Скоко мы с Вами разбирались с матрицами? Так они простейший пример таких операторов.

Линейные операторы нужны везде в математике, во многих областях физики (не только в квантах), например собственные значения их могут служить квадратами частот (т.е. распространение эл./м. волн, МСС, колебания). Если хотите подробнее, колитесь: в каком курсе и в каком ключе Вам их начали излагать

Читают в курсе линейной алгебры. Определение такое: пусть имеются линейные пространства $V$ и $V'$ над полем $P$. Линейным оператором называется отображение $f:V\to V'$, такое, что:
$\forall \vec{x},\vec{y} \in V, \forall \alpha, \beta \in P: f(\alpha \vec{x} +\beta \vec{y})=\alpha f\vec{x}+\beta f\vec{y}$

[Nemiroff]

Я не понимаю вопроса.
Зачем вы изучали в школе умножение и извлечение квадратного корня? Ну вот затем, чтоб потом, как понадобиться перемножить или выкореннить что-нибудь, вы знали, что вам кто-то когда-то сказал, как это делать. В идеале даже, чтоб вы знали, как это делать.
Вот тут то же самое. Когда вам дальше встретится линейный оператор, вы будете знать, что с ним стоит делать, а чего не стоит.

[fronnya]

Nemiroff в сообщении #987504 писал(а):

Я не понимаю вопроса.
Зачем вы изучали в школе умножение и извлечение квадратного корня? Ну вот затем, чтоб потом, как понадобиться перемножить или выкореннить что-нибудь, вы знали, что вам кто-то когда-то сказал, как это делать. В идеале даже, чтоб вы знали, как это делать.
Вот тут то же самое. Когда вам дальше встретится линейный оператор, вы будете знать, что с ним стоит делать, а чего не стоит.

Тогда приведите, пожалуйста, примеры линейных оператором и докажите, что это действительно линейные операторы и они подходят под определение.
При чем такие, которые встречаются часто, желательно.

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #987507 писал(а):

Тогда приведите, пожалуйста, примеры линейных оператором и докажите, что это действительно линейные операторы и они подходят под определение.

Дифференцирование, интегрирование, умножение на матрицу.

[fronnya]

Ну ок тогда. Понял, спасибо.

[ex-math]

(Оффтоп)

А то не стал бы учить. Что за студенты пошли меркантильные. Обязательно какую-то пользу надо извлечь. А изучать потому что красиво/нравится/интересно никак?

[fronnya]

ex-math в сообщении #987518 писал(а):

(Оффтоп)

А то не стал бы учить. Что за студенты пошли меркантильные. Обязательно какую-то пользу надо извлечь. А изучать потому что красиво/нравится/интересно никак?

(Оффтоп)

С чего такой наезд? Мне очень интересна линейная алгебра! Мне интересно, что это за такие линейные операторы, я хочу представлять их хоть как-нибудь, я их почувствовать пытаюсь. Просто не знаю, как.

[arseniiv]

fronnya
Польза многих вещей становится яснее, если рассмотреть их все вместе. Например, представим обычное трёхмерное пространство. Множество его преобразований содержит всякую всячину, но рассмотрим некоторые его подмножества:
• непрерывных преобразований. В него не входит, например, отображение, оставляющее на месте все точки кроме точек какой-то плоскости, отображающихся всех в какую-то одну;
• аффинных преобразований: они переводят прямые в прямые. Куча непрерывных аффинными не являются;
• линейных преобразований: они вдобавок ещё и оставляют на месте выбранную нами точку;
• ортогональных преобразований: они вдобавок сохраняют и длины (и, как следствие, углы);
• ортогональных преобразований, оставляющих на месте какую-то проходящую через нашу точку прямую;
• множество, состоящее из единственного тождественного преобразования.

Как можно видеть, каждое следующее — собственное подмножество предыдущего, и функции из него сохраняют всё больше разных свойств каких-то вещей, которые мы построили в пространстве (последняя сохраняет все мыслимые). В частности, линейное преобразование сохраняет коэффициенты линейных комбинаций: $\mathbf a = \lambda_1\mathbf a_1+\ldots+\lambda_n\mathbf a_n \Rightarrow A\mathbf a = \lambda_1A\mathbf a_1+\ldots+\lambda_nA\mathbf a_n$ (а аффинное — аффинных, у них $\lambda_1+\ldots+\lambda_n=1$).

Но зачем именно линейные комбинации сохранять? А потому что ничего лучше сохранить не получится: от векторного пространства требуется только наличие сложения элементов и умножения их на элементы поля (связанных правильным образом), а все остальные свойства могут и быть, и не быть. Так что зная лишь то, что пространство линейное, имея на руках его операции, мы из его элементов можем насоставлять только линейных комбинаций и потребовать только линейных операторов. Почему же тогда мы так мало хотим от пространства? Потому что чем меньше хотим, тем больше пространств можем рассмотреть. Факт и есть факт: линейные пространства встречаются действительно чаще, чем ассоциативные алгебры с единицей.

[fronnya]

А правильно ли я понимаю, что такое отображение? Оно по некоторому закону преобразует элементы одного множества в элементы другого множества?

[Nurzery[Rhymes]]

fronnya в сообщении #987539 писал(а):

А правильно ли я понимаю, что такое отображение? Оно по некоторому закону преобразует элементы одного множества в элементы другого множества?

Практический пример: с помощью специально составленной матрицы можно задать тернарный код Хэмминга. Это отображение разных векторных пространств, например $g:F_{3}^{2} \to F_{3}^{4}$

Пусть $G=\begin{pmatrix} &1 0 1 1 & \\ &0 1 1 2 & \\ \end{pmatrix}$ - порождающая матрица кода, тогда схема кодирования задается равенством $x=g(u)=uG$

Например: $(1, 1)\begin{pmatrix} &1 0 1 1 & \\ &0 1 1 2 & \\ \end{pmatrix}=(1,1,2,0)$. Сообщение $(1,1)$ преобразуется в кодовое слово $(1,1,2,0)$

[ex-math]

Скорее, ставит в соответствие, а не преобразует. Существенно, что каждому элементу первого множества ставится в соответствие ровно один элемент второго. Короче, функция.

Неужели Вам примеров не приводят, чтобы почувствовать?
По сути, оператор -- та же функция, только аргументы и значения ее не числа, а векторы. Линейный сохраняет сумму и умножение на число.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987543 писал(а):

Хотя это нельзя считать оператором:

Можно. "Оператор" -- это всего лишь один из многочисленных синонимов слова "отображение".

fronnya в сообщении #987484 писал(а):

Так для чего они нужны все таки?

Это стандартная последовательность при изложении линейной алгебры. В первом семестре вам давали лишь элементарные операции над матрицами, там умножения, обращения и т.д. Просто чтоб приучить вас к матрицам. Но потом без перехода от матричного языка к операторному становится совсем уж тесно и душно. Например, у вас будет, скорее всего, жорданова форма матрицы. И хотя речь там именно о матрицах, но в чисто матричном изложении всё становится занудным до невозможности. Оно, правда, в любом случае занудно; но при операторном подходе становится хоть сколько-то осмысленным.

[fronnya]

Ой, т.е. ставится в соответствие.. да.. А функция- это отображение в числовое множество, это я понимаю.