Алгебраическая замкнутость и определение плоской кривой

[Nurzery[Rhymes]]

Задался вопросом, как правильно перевести предложение "our definition of a plane curve is specific to a field F which may not be algebraically closed". Из-за слабого понимания того, о чем здесь говорится, не могу подобрать правильный синоним для выражения be specific to.

Есть некоторая кривая, которая определена как множество нулей данного многочлена. Мы говорим, что такое определение is specific для поля, которое может не быть алгебраически замкнутым. То есть наше определение работает, когда поле алгебраически замкнуто, и может не работать в противном случае? Что произойдет в случае, если поле не является алгебраически замкнутым, то есть если в нем некоторые ненулевые многочлены не имеют корней? Мы просто не сможем задать эту плоскую кривую с помощью неприводимого (не имеющего корней) многочлена?

Здесь же я задумался о необходимости понятия алгебраического замыкания поля. Вообще, если некоторые многочлены с коэффициентами из данного поля не имеют в нем корней, то мы можем захотеть построить поле, в котором они имеют корни. Это и есть мотивация для введения алгебраических замыканий?

[demolishka]

Для данного многочлена кривая может иметь различный вид над различными полями.

[Nurzery[Rhymes]]

demolishka в сообщении #987423 писал(а):

Для данного многочлена кривая может иметь различный вид над различными полями.

А как это следует из алгебраической незамкнутости?

[demolishka]

Одно поле алгебраически замкнуто, другое - нет. В одном кривая - все корни многочлена, в другом - не все.

[Nurzery[Rhymes]]

И правильнее будет перевести, что наше определение кривой как множества нулей многочлена будет характерно для поля, или зависеть от выбора поля, над которым она задана? Не совсем понимаю, что имеет в виду автор: вид кривой над разными полями или то, что для алгебраически незамкнутых полей придется переформулировать определение.

[demolishka]

Это уже вопрос к переводчикам, но

Цитата:

зависеть от выбора поля

звучит приятней. Хотя дословный перевод: "является специфичным", как по мне, тоже неплох.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987433 писал(а):

или то, что для алгебраически незамкнутых полей придется переформулировать определение.

Зачем же его переформулировать?

Вот, допустим, хотите вы определить интеграл как предел какой-то конкретной Римановой суммы, построенной по какому-то разбиению с оснащением. Тут вы должны оговорить, что на самом деле, интеграл зависит от выбора этого самого разбиения с оснащением. Например функция Дирихле в одном случае может иметь интеграл равный единице, в другом ноль, а в третьем вообще не иметь.