Помогите решить уравнение как бы затухающих колебаний (прибл

[Rusy@]

Здравствуйте, очень нужна ваша помощь.
У меня такое вот уравнение (первый раз пишу с тегом math поэтому не знаю - получится ли)
$ e ^{\mu*\phi} = 2*cos(\phi) $
Вроде, как в преобразованном виде оно описывает затухающие колебания. $\mu$ - некоторый параметр он лежит в пределах от 0 до 1. Надо выразить $\phi$ в зависимости от $\mu$. Если кто поможет буду очень благодарен.
Сам я его решил, так сказать статистически - у меня получилось, что эта зависимость приблизительно подчиняется $\phi = 1 - 0.5*\mu$. Т.е. я на калькуляторе делал выборку для мю от 0 до 1 всех фи, а потом построил график этой выборки и приближённо построил прямую удовлетворяющую этой "выборке"
Решение нужно хотя бы приближённое - заранее благодарен.

[Руст]

Решений то бесконечно много в каждом интервале длины 2*pi 2 решения в области (-2k*pi,-2k*pi-2pi). Если mju больше нуля берутся положительные k, иначе отрицательные.

[Rusy@]

$\phi$ это угол. Причём он лежит в интервале от 0 до $\pi/2$

[photon]

Rusy@ писал(а):

$\phi = 1 - 0.5*\mu$

В диапазоне $\mu$ от 0 до 1 действительно зависимость $\phi(\mu)$ близка к линейной:

[Rusy@]

Ну а подскажите, каким образом это можно доказать? Или просто привести соответствующие графики зависимости например мю от фи?

[photon]

Rusy@ писал(а):

Ну а подскажите, каким образом это можно доказать? Или просто привести соответствующие графики зависимости например мю от фи?

А чем Вам тот график $\phi(\mu)$, что я построил не нравится? - нужно $\mu(\phi)$? - посмотрите на него наклонив голову на 90 градусов
И, кстати,квадратичная аппроксимация получается вообще очень хорошей:
$\phi(\mu)=0.1607\mu^2-0.6756\mu+1.052$.
Надо точнее? Для данной аппроксимации SSE составляет $0.00087$.Если Вам нужно приближенное решение - этого, я думаю будет вполне достаточно. Но если нужно точнее - я могу выписать Вам полином, скажем 9-ой степени, тогда SSE упадет до $1.44061\cdot10^{-13}$. Только нужно ли это?

[Rusy@]

Нет, photon мне ваш график всем нравится, а тем более, что он совпадает с полученными мною результатами ранее. Но просто я имею в виду вот что. Это уравнение получается в ходе решения физической задачи. И естественно мне надо привести его решение. Или просто указать - что было решено графически и вот так и так - получилась приблизительно прямая? Как думаете?
Мне в принципе и линейной аппроксимации хватило - тем более, что она дала очень хорошие результаты с точки зрения самой физики.

[Rusy@]

Цитата:

А чем Вам тот график , что я построил не нравится? - нужно ? - посмотрите на него наклонив голову на 90 градусов

Ну... с этим проблем нет и я и вы, думаю, понимаем прекрасно этот факт

[photon]

Rusy@ писал(а):

Нет, photon мне ваш график всем нравится, а тем более, что он совпадает с полученными мною результатами ранее. Но просто я имею в виду вот что. Это уравнение получается в ходе решения физической задачи. И естественно мне надо привести его решение. Или просто указать - что было решено графически и вот так и так - получилась приблизительно прямая? Как думаете?
Мне в принципе и линейной аппроксимации хватило - тем более, что она дала очень хорошие результаты с точки зрения самой физики.

Если задача физическая, то достаточно сказать: "аппроксимируется ... допустим прямой, при этом погрешность аппроксимации не превышает... или SSE составляет..."
Если Вам достаточно линейной аппроксимации, могу чуть-чуть уточнить коэффициенты:
$\phi(\mu)=1.027-0.5194\mu$.
При этом SSE=0.06686

[Rusy@]

Огромное спасибо. И ещё - просвятите - как расшифровывается SSE? И как его искать? И в принципе, что оно даёт?

[photon]

Rusy@ писал(а):

Огромное спасибо. И ещё - просвятите - как расшифровывается SSE? И как его искать? И в принципе, что оно даёт?

Цитата:

SSE -The sum of squares due to error. This statistic measures the deviation of the responses from the fitted values of the responses. A value closer to 0 indicates a better fit.

Еще сейчас нашел одну хорошую и простенькую аппроксимацию.
$\phi(\mu)=1.056e^{-0.6744\mu}$
Если Вам удобнее RMSE -- The root mean squared error, могу тоже дать для приведенных выше аппроксимаций. Я сегодня добрый

[Руст]

Дифференцируя по мю или по фи получите дифференциальное уравнение для этой зависимости dмю/dфи=-(1+tg(фи))/фи. При фи=pi/3 мю=0 и производная близка к -2, а следовательно производная от обратной функции близка к -1/2. Далее при росте мю фи убывает (при достаточно больших фи~ln(2)/мю) производная dмю/dфи стремится к - бесконечности, т.е. производная dфи/dмю cтремится к нулю. Так как интервал изменения мю маленький и в начале не очень то отличалось от (1-мю/2) то не успевает сильно отличится в малом интервале. Вводя обозначение фи= pi/3-x и подставив это в дифференциальное уравнение получается более точная аппроксимационная формула фи=pi/3-x~pi/3-x*(3+3sqrt3)/pi .

[photon]

Руст писал(а):

фи=pi/3-x~pi/3-x*(3+3sqrt3)/pi .

Красиво, только куда делось $\mu$?

[Rusy@]

И ещё у меня вопрос - если разложить начальную функцию
$ f(\phi) = {2cos(\phi)}/{e ^{\mu*\phi}} $
в ряд Тейлора, ну и отбросить члены, начиная например с 4! в знаменателе - получится что-нибудь?

[photon]

Rusy@ писал(а):

И ещё у меня вопрос - если разложить начальную функцию
$ f(\phi) = {2cos(\phi)}/{e ^{\mu*\phi}} $
в ряд Тейлора, ну и отбросить члены, начиная например с 4! в знаменателе - получится что-нибудь?

Я не математик, но по-моему это проблемно - у Вас же $\mu(\phi)$ в таком случае