System in reals

[ins-]

Can anyone solve the following system of reals:
x+yz=xyz
y+zt=yzt
z+tx=ztx
t+xy=txy
?

I have no solution but I think it is interesting problem. I invented it before 30 minutes. Is it known to someone and from where?

[нг]

Ignoring zero roots for a time, one can transform system to reciprocal variables. Excluding all but one (it becomes trivial exercise) we will have an equation of 6th degree, which has an obvious quadratic factor (it comes from the case when all vars are equal). The residual polynomial of 4th degree has only complex roots.

The case of zero roots is trivial.

Yawn.

[ins-]

May you write more detailed solution? The problem seems to be easy but I don't believe it is very easy.

[нг]

I'm not interested to.

[ins-]

[Профессор Снэйп]

Если домножить первое уравнение на $t$, второе на $x$, третье на $y$ и четвёртое на $z$, то получим

$$ xt + yzt = xy + xzt = yz + xyt = zt + xyz = xyzt $$

Если теперь сюда подставить значения мономов третьей степени, взятые их исходной системы, то получается

$$ xt + y + zt = xy + z + tx = yz + t + xy = zt + x + yz = xyzt $$

Отсюда получаем

$$ xt + y + zt = yz + t + xy, \,\,\, t(x+z) + y = y(x+z) + t, \,\,\, t(x+z-1) = y(x+z-1) $$

и

$$ xy + z + tx = zt + x + yz, \,\,\, x(y+t)+z = z(y+t)+x, \,\,\, x(y+t-1) = z(y+t-1) $$

Таким образом, должны выполняться равенства

$$ \begin{cases} (y-t)(x+z-1) = 0 \\ (x-z)(y+t-1) = 0 \end{cases} $$

Далее рассматриваем 4 случая и вроде бы всё решается...

[ins-]

10 x! It is far better and I'm think we have a new interesting problem. ... нг ... just to be complete - may you post your full solution?

[Профессор Снэйп]

ins- писал(а):

10 x! It is far better and I'm think we have a new interesting problem.

Где Вы там интересную проблему нашли? Обычная рутинная задачка для школьников.

Или Вы решили, что я не дописал решение до конца, потому что не знаю, как продолжать?

[ins-]

You know how to continue! I believe because even I know how to continue.
It were not addressed to you ... It is addressed to "нг" (Супермодератор). And not why I think someone except me cannot continue. When I'm posting something in this forum I believe some very skilled people as you will see it.
If you want more interesting problems you may take a look at these: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=182073. I also have a problem not solved in this forum in geometry ... do you want a link?
Indeed as нг said there are cases when some of variables are equal to 0. When you multiply by some variable you should take a look at these cases...

[незваный гость]

Профессор Снэйп писал(а):

Или Вы решили, что я не дописал решение до конца, потому что не знаю, как продолжать?

Это манера такая. У ins- все его задачи сложные и красивые. Сложные — потому что он сам их не может решить, а другим решать за него быстро надоедает. А красивые — потому что в них присутствует некоторая симметрия.

Посмотрите, Профессор Снэйп, другие темы этого участника (поиске по пользователю).

[ins-]

It is true ... I cannot solve this problem ... at least at first look (30 minutes).
You are right I like simetrical problems ... but
Have you definitions for a "beautiful problem" and "difficult problem"?
In mine opinion a beautiful problem is a problem that someone like in some reason... it is a matter of taste. I were happy that I invented "symmetrical" problem that is not in my books and it is not too elementary (I'm not a proffesional).
About difficulty ... one problem may be difficult for me but not difficult for you and vice versa. I may give you a problem that is not probably you can solve in next few days but what is the sense of such problems?
I have two more questions:
May you give me a link to some "beautiful" problem invented by you "незваный гость"?
May you give me a link to some "difficult" problem invented by you "незваный гость"?

[незваный гость]

[offtopic]

(1) Для начала, мне не кажется скромным (или достойным) называть придуманную мной задачу красивой или сложной. Обычно эти определения должны быть высказаны другими людьми.

(2) Что такое красивая задача? Это общая оценка задачи, включающая в себя а) некоторую простоту и общность условия; б) некоторое неочевидное, обычно компактное, но всегда содержащее по крайней мере одну нестандартную, не техническую идею решение.

(3) Что такое сложная задача? Несомненно, ответ зависит от квалификации решающего. Но для каждого уровня существует определённый круг стандартных методов, теорем и концепций, с которыми решающий должен быть знаком. Для первого класса, для первого курса, для American Mathematical Monthly. Если решение не выходит за рамки этого круга, но требует больших выкладок, задача рассматривается как техническая, но не как сложная. Например, что больше $\frac{\sin x}{\sqrt2}$ или $\arctg{\frac{x}{\sqrt2}}$ при $x > 0$? Ответ легко обосновать, но с вычислениями придётся повозиться. Также как и исследование функции $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}{\rm e}^{-n (n x -1)^2}$ на непрерывность, дифференцируемость и прочая (А.В.Потепун, 1981 г.). Последняя задача, кстати, может претендовать на звание сложной (относительно): в ней нужна несколько необычная оценка диапазона «плохих» значений $n$. И всё равно, студент первого-второго курса её решит.

С появлением компьютеров и систем символьных вычислений ответ несколько упростился: технические вычисления компьютер делает, и быстро притом. Поэтому сложная задачу на компьютере не решить, а простую техническую — запросто.

В любом случае, надо быть очень уверенным в себе, чтобы называть задачу, которую не можешь решить за пол-часа сложной.

(4) Необходимо различать красивое решение и красивую задачу. Красивая задача предполагает наличие красивого решения, красивое решение может быть и у обычной задачи. Примером первого случая является основная теорема высшей алгебры: её доказывали в пяти или шести курсах лекций, показывая её глубинную связь с самыми различными математическими теориями: топологией, матанализом. В тоже время, поиск цилиндра данного объёма, имеющего наименьшую площадь поверхности — это обычная задача на исследование функции при помощи производной. Она имеет красивое решение, опирающееся на неравенство Коши, но оно не делает задачу красивой.

P.S. Please do not hesitate to tell if all the message or any part of it will cause understanding difficulties. I can always translate some or all of it in English.

[/offtopic]

[Профессор Снэйп]

ins- писал(а):

Indeed as нг said there are cases when some of variables are equal to 0. When you multiply by some variable you should take a look at these cases...

Ничего плохого при домножении не происходит. Решения, полученные после подобных домножений, всегда можно подставить в исходную систему и проверить, превращают ли они её в систему тождеств.

P. S. Сегодня, пока ехал в автобусе, дорешал до конца Получается, что система имеет ровно 3 решения:

1) $x=y=z=t=0$

2) $x=y=z=t=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3) $x=y=z=t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Можно помедитировать над тем, насколько случаен тот факт, что ненулевыми решениями являются числа, задающие пропорцию золотого сечения. Хотя вряд ли здесь есть какая-то глубокая связь.

[ins-]

To: незваный гость. Thank you for your complete motivation of your words. I'm understanding everything. I have 8 years experience with Russian Language. I think your skills are very good and it is the reason to say the problem is very easy. I think it is good for the first rounds of math olympiad. You must take in mind ... it may be solved by pupils (not experienced matematicians) and there will be time limitations.
To: Профессор Снэйп ... thank you for time spent with the problem and for the excellent solution.

I wish you both all the best and lots of success.

[нг]

Профессор Снэйп писал(а):

Можно помедитировать над тем, насколько случаен тот факт, что ненулевыми решениями являются числа, задающие пропорцию золотого сечения. Хотя вряд ли здесь есть какая-то глубокая связь.

Assuming $x = y = z = t$, we can reduce the original system to $x + x^2 = x^3$, which has all these roots. I guess, it explains Golden ratio.