Задача на бросание монетки

[Viacheslav]

Здравствуйте,
Задали на курсе тер. вера задачку

Цитата:

Монету бросают до тех пор, пока она два раза подряд не выпадает одной и той же стороной. Найти вероятность событий: A1 того что опыт закончится до шестого бросания, A2 потребуется четное число бросаний, A3 потребуется не четное число бросаний

мое решение такое событие A1 включает в себя следующие события:
ГГ, РР, каждое с вероятностью 1/4
РГГ, ГРР, каждое с вероятностью 1/8
РГРР, ГРГГ , каждое с вероятностью 1/16
РГРГГ, ГРГРР , каждое с вероятностью 1/32

и получается вероятность наступления события A1 это сумма вероятностей событий выше
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{32} = \frac{15}{16}$

а вот с определением вероятностей событий A2 и A3 сложнее, я так понимаю нужно найти сумму ряда
$P(A_2) = 2\cdot(\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}+ .... ) = 2\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2^{i\cdot2}}$

$P(A_3) = 2\cdot(\frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \frac{1}{128}+ .... ) = 2\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2^{i\cdot2 + 1}}$
сразу видно что
$P(A_3) = \frac{P(A_2)}{2}$
но ни как не могу найти чему будет равна сумма ряда, понимаю что это должно быть просто

[Lukum]

A1 неправильно вроде.

[provincialka]

Lukum в сообщении #986274 писал(а):

A1 неправильно вроде.

Правильно, но не рационально. Лучше перейти к противоположному событию.

Viacheslav в сообщении #986260 писал(а):

$P(A_3) = \frac{P(A_2)}{2}$
но ни как не могу найти чему будет равна сумма ряда, понимаю что это должно быть просто

А чему равна сумма $A_2+A_3$?

[Nemiroff]

Viacheslav в сообщении #986260 писал(а):

сразу видно что
$P(A_3) = \frac{P(A_2)}{2}$

Я не смотрел на выкладки, но если это сразу видно, и еще вы знаете, что $A_2$ — чётные, $A_3$ — нечётные, то кагбэ и всё.

[ewert]

Nemiroff в сообщении #986282 писал(а):

Я не смотрел на выкладки, но если это сразу видно,

Это сразу видно, даже если ничего не выкладывать, а просто присмотреться. Возможным нечётным комбинациям (3, 5, 7, ...) взаимно однозначно соответствуют чётные (2, 4, 6, ...), и при этом вероятность каждой нечётной ровно вдвое меньше, чем соответствующей чётной, т.к. для нечётной самое первое бросание (отсутствующее в чётной) должно давать вполне определённый результат.

Viacheslav в сообщении #986260 писал(а):

но ни как не могу найти чему будет равна сумма ряда,

Вот не верю. Не верю, что Вы не знаете детскую формулу для суммы геометрической прогрессии. Раз уж Вам захотелось выписывать именно ряды.

[Viacheslav]

provincialka в сообщении #986278 писал(а):

А чему равна сумма $A_2+A_3$?

Точно, если считать что эксперимент когда то закончиться, то произойдет либо A2 либо A3 события, то есть
$A_2+A_3 = 1$ и заменяя $A_3 = \frac{A_2}{2}$, получается что вероятность A2 равна 2/3

ewert в сообщении #986293 писал(а):

Вот не верю. Не верю, что Вы не знаете детскую формулу для суммы геометрической прогрессии. Раз уж Вам захотелось выписывать именно ряды.

Согласен, сумма ряда очевидна, и формулу знаю, просто как то вылетело из головы