2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перенос центра в полярных координатах
Сообщение05.03.2015, 21:53 


20/12/14
42
Что-то совсем затупел... Вроде технический момент, а никак не могу корректно записать.
Есть кривая, заданная полярным уравнением $\rho=\rho(\varphi)$

Нужно рассмотреть фигуру, ограниченную этой кривой, с точки зрения центра масс -
поделить на равные по площади сектора и т.п.
Сам центр найти нетрудно; пусть это $(x_c, y_c)$, а $S$ - площадь фигуры.

Площадь сектора, ограниченного кривой и лучами, исходящими из центра координат под углами $\varphi_1, \varphi_2$ есть: $$\sigma=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \rho(\varphi)^2 d\varphi$$
Мне нужно найти площадь сектора, заданного лучами, исходящими из центра масс.
Как корректно преобразовать формулу? Сначала мне показалось, что это очень просто - параллельный перенос и т.п.
Но получается ерунда какая-то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Перенос центра в полярных координатах
Сообщение05.03.2015, 22:01 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14502
Кронштадт
Перейти от полярных координат к декартовым, там сдвинуть начало координат в центр масс, после чего выполнить переход к новым полярным координатам и исключить старый угол $\varphi$. Результат, правда, почти наверняка будет страшненьким...

 Профиль  
                  
 
 Re: Перенос центра в полярных координатах
Сообщение05.03.2015, 22:14 


20/12/14
42
Да, страшненьким. Уже начинал.
Хорошо, а если переписать в параметрическом виде:$$
\begin{cases}
x(t)=\rho(t)\cos(t)\\
y(t)=\rho(t)\sin(t)
\end{cases}
$$

а площадь сектора искать по формуле $$\sigma=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}(xy'-x'y)dt$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перенос центра в полярных координатах
Сообщение05.03.2015, 22:50 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14502
Кронштадт
denny в сообщении #986152 писал(а):
Хорошо, а если переписать в параметрическом виде:
Это и есть переход к декартовой системе координат. То, что вместо $\varphi$ теперь написано $t$, сути дела не меняет. :-)

denny в сообщении #986152 писал(а):
а площадь сектора искать по формуле
Но только в это выражение нужно подставлять уже сдвинутые декартовы координаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перенос центра в полярных координатах
Сообщение05.03.2015, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7975
Hogtown
Pphantom в сообщении #986161 писал(а):
Но только в это выражение нужно подставлять уже сдвинутые декартовы координаты.

А проще подставить сдвинутые координаты через оригинальные $x:=x-a$, $y:=y-b$ и подсчитать поправку $$\frac{1}{2}\int (-a y'+ b x')\,dt =\frac{1}{2}\bigl(  -a y(t_2)+ ay(t_1)+ bx(t_2)-bx(t_1)\bigr).$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перенос центра в полярных координатах
Сообщение06.03.2015, 08:59 


20/12/14
42
Да, спасибо! Последний вариант удачный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group