Сходимость по норме пространства C[-1, 1]

[provincialka]

ewert
Возможно. Я не присматривалась к задаче. А разве оценки, порождаемые $O$, будут равномерными? Нам же равномерную надо...

[HenryDukart]

ewert в сообщении #986181 писал(а):

Не надо никаких извращений. Надо просто заменить выражение с "О-большим" для логарифма на двустороннее неравенство, соответствующее формальному определению этого "О-большого". После применения к этому неравенству экспоненты оно вполне себе сохранится, а как при этом пересчитаются константы -- совершенно неважно.

Я никак не могу понять, как можно обосновать переход от исследования максимума разности двух функций к исследованию разности их логарифмов, а потом обратный переход. Правильно ли я понял, что $\ln(1+x) = x + \frac{x^2}{2}(-\frac{1}{(1+c)^2})$

[ewert]

Так, HenryDukart, послушайте. Вы в курсе, что вообще означает запись $\ln(1+x)=x+O(x^2)$? и как она формально и по определению символа переводится на язык неравенств?...

Если в курсе, то всё дальнейшее -- не более чем очевидное жонглирование значками. Если не в курсе, то, боюсь, всё достаточно бессмысленно.

-- Пт мар 06, 2015 01:08:31 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #986186 писал(а):

А разве оценки, порождаемые $O$, будут равномерными?

В данном случае -- естественно и тривиально будут. Ведь промежуток-то фиксирован, а эны стремятся к бесконечности.

Впрочем, это уже ловля блох. Тут главное зацепиться хоть за что-то, а уж подражать друзьям человека можно и позже. Только вот ТС именно цепляться-то как раз категорически и не хочет.

[HenryDukart]

ewert в сообщении #986188 писал(а):

Так, HenryDukart, послушайте. Вы в курсе, что вообще означает запись $\ln(1+x)=x+O(x^2)$? и как она формально и по определению символа переводится на язык неравенств?...

Если в курсе, то всё дальнейшее -- не более чем очевидное жонглирование значками. Если не в курсе, то, боюсь, всё достаточно бессмысленно.

Да, понимаю. Понимаю, что $n \ln(1+ \frac{t}{n})=t + n*O(\frac{t^2}{n^2})$

[provincialka]

HenryDukart в сообщении #986190 писал(а):

Да, понимаю.

А вы покажите-ка свое понимание. Пока без $t$ и $n$. Что означает формула с О-большим?

[HenryDukart]

provincialka в сообщении #986192 писал(а):

HenryDukart в сообщении #986190 писал(а):

Да, понимаю.

А вы покажите-ка свое понимание. Пока без $t$ и $n$. Что означает формула с О-большим?

Вот как я понимаю: $\lim \frac{O(x^2)}{x^2} = const$

[provincialka]

HenryDukart в сообщении #986193 писал(а):

Вот как я понимаю: $\lim \frac{O(x^2)}{x^2} = const$

Ну, не совсем так. Вообще говоря, предел может не существовать. Там нужны неравенства.

-- 06.03.2015, 00:18 --

Кстати, лучше писать не $const$, а \operatorname{const}

[HenryDukart]

provincialka в сообщении #986195 писал(а):

Там нужны неравенства.

$f(x) \in O(x^2) \Leftrightarrow \exists C > 0, \forall x \in X: |f(x)| \leq Cx^2$

[ewert]

HenryDukart в сообщении #986201 писал(а):

$f(x) \in O(x^2) <=> \exists C > 0, \forall x \in X: |f(x)| \leq Cx^2$

(только не "\in", а просто "="; ины, я в курсе, в определённой тусовке модны, но это явное извращение)

Ну и замечательно. Теперь просто превратите это неравенство для модуля в обычное двустороннее неравенство, после чего тупо нанесите на него экспоненту. И не забывайте, что конкретные значения констант для нас совершенно не важны -- лишь бы абы какие существовали.

[HenryDukart]

ewert в сообщении #986206 писал(а):

Ну и замечательно. Теперь просто превратите это неравенство для модуля в обычное двустороннее неравенство,

$-Cx^2 \leqslant ln(1+x)-x \leqslant Cx^2$?

[ewert]

Оно конечно, только теперь перед применением экспоненты минус икс следует переместить из центра в обе крайние части; естественно.

[HenryDukart]

$e^x e^{-Cx^2}\leqslant 1+ x \leqslant e^x e^{Cx^2}$
$(1 + \frac{t}{n})^n - e^t e^{C\frac{t^2}{n^2}} \leqslant 0$

[ewert]

Ну не буквально же так. Всё-таки не забывайте, что Ваши иксы -- это как-то не совсем исходные тэ.

[HenryDukart]

ewert в сообщении #986214 писал(а):

Ну не буквально же так. Всё-таки не забывайте, что Ваши иксы -- это как-то не совсем исходные тэ.

Нельзя же сказать, что $\max|(1+\frac{t}{n})^n - e^t*e^{C*\frac{t^2}{n^2}}| = 0$

[Aritaborian]

(HenryDukart, про ТеХ)

На будущее: нет никакой необходимости использовать звёздочку для обозначения умножения. Всё отлично выглядит и так. А в тех случаях, когда умножение всё-таки припрёт обозначить явно, используйте символы \cdot или \times.