Перенос центра в полярных координатах

[denny]

Что-то совсем затупел... Вроде технический момент, а никак не могу корректно записать.
Есть кривая, заданная полярным уравнением $\rho=\rho(\varphi)$

Нужно рассмотреть фигуру, ограниченную этой кривой, с точки зрения центра масс -
поделить на равные по площади сектора и т.п.
Сам центр найти нетрудно; пусть это $(x_c, y_c)$, а $S$ - площадь фигуры.

Площадь сектора, ограниченного кривой и лучами, исходящими из центра координат под углами $\varphi_1, \varphi_2$ есть:

$$\sigma=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \rho(\varphi)^2 d\varphi$$

Мне нужно найти площадь сектора, заданного лучами, исходящими из центра масс.
Как корректно преобразовать формулу? Сначала мне показалось, что это очень просто - параллельный перенос и т.п.
Но получается ерунда какая-то...

[Pphantom]

Перейти от полярных координат к декартовым, там сдвинуть начало координат в центр масс, после чего выполнить переход к новым полярным координатам и исключить старый угол $\varphi$. Результат, правда, почти наверняка будет страшненьким...

[denny]

Да, страшненьким. Уже начинал.
Хорошо, а если переписать в параметрическом виде:

$$ \begin{cases} x(t)=\rho(t)\cos(t)\\ y(t)=\rho(t)\sin(t) \end{cases} $$

а площадь сектора искать по формуле

$$\sigma=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}(xy'-x'y)dt$$

[Pphantom]

denny в сообщении #986152 писал(а):

Хорошо, а если переписать в параметрическом виде:

Это и есть переход к декартовой системе координат. То, что вместо $\varphi$ теперь написано $t$, сути дела не меняет.

denny в сообщении #986152 писал(а):

а площадь сектора искать по формуле

Но только в это выражение нужно подставлять уже сдвинутые декартовы координаты.

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #986161 писал(а):

Но только в это выражение нужно подставлять уже сдвинутые декартовы координаты.

А проще подставить сдвинутые координаты через оригинальные $x:=x-a$, $y:=y-b$ и подсчитать поправку

$$\frac{1}{2}\int (-a y'+ b x')\,dt =\frac{1}{2}\bigl( -a y(t_2)+ ay(t_1)+ bx(t_2)-bx(t_1)\bigr).$$

.

[denny]

Да, спасибо! Последний вариант удачный.