Аксиомы Пеано

[Mitrius_Math]

Пусть: 1) $N$ - непустое множество;
2) $':N \to N$ - унарная операция;
3) $1 \in N$ - выделенный элемент.

Аксиома 1. $(\forall n \in N) (n' \not= 1)$
Аксиома 2. $(\forall m,n \in N) (m' = n' \to m=n)$
Аксиома 3. $(P(1) \wedge (\forall n \in N)(P(n) \to P(n'))) \to (\forall n \in N) (P(n))$

Объясните, пожалуйста, как отсюда следует (и следует ли вообще?) $(\forall m,n \in N) (m = n \to m'=n')$.

[bot]

Mitrius_Math в сообщении #985945 писал(а):

Объясните, пожалуйста, как отсюда следует $(\forall m,n \in N) (m = n \to m'=n')$

Это следует не отсюда, а из ниоткуда. Если чёрт один, то и штрихованный чёрт тоже один.

[Munin]

Тут и аксиом не нужно, это следует из определения унарной операции.

[Mitrius_Math]

Спасибо за ответы.

Пусть: 1) $X,Y$ - непустое множество;
2) $f \subset X \times Y$ - бинарное отношение.

Бинарное отношение $f$ называется отображением, если
$(\forall x \in X)((\exists y \in Y)((x,y) \in f) \wedge (\forall y_1,y_2 \in Y)(((x,y_1) \in f \wedge (x,y_2) \in f ) \to y_1=y_2)).

Отображение $f: X \to Y$ называется унарной операцией, если $X=Y$.

Не пойму, где тут то, о чём я говорил.

[svv]

Объясните, что значит $m=n$?
Если из равенства $m=n$ не следует, что $f(m)=f(n)$, что тогда значит равенство?

Вот аналогичный пример:

Mitrius_Math в сообщении #985989 писал(а):

Отображение $f: X \to Y$ называется унарной операцией, если $X=Y$.

Раз $X=Y$, я в определение отображения вместо $Y$ подставлю $X$ и получу свойство, которому удовлетворяет унарная операция. А именно, унарная операция — это такое отношение, для которого
$(\forall x \in X)((\exists y \in X)((x,y) \in f) \wedge (\forall y_1,y_2 \in X)(((x,y_1) \in f \wedge (x,y_2) \in f ) \to y_1=y_2))$
Вероятно, Вы с этим согласитесь.

Стоп! Я что-то засомневался. Пусть даже для унарной операции $X=Y$, какое право мне это дает подставлять в Ваше определение $X$ вместо $Y$? На основании какой аксиомы?

Итак, вопрос: что позволяется извлекать из равенства просто по факту равенства? Если ничего, зачем оно?

[iifat]

svv в сообщении #986005 писал(а):

что позволяется извлекать из равенства просто по факту равенства? Если ничего, зачем оно?

Ну, вообще-то, помнится где-то в формальной логике (Мендельсон, по моему, только подробностей не спрашивайте) возможность подстановки оговаривалась отдельно.

[Munin]

Mitrius_Math в сообщении #985989 писал(а):

Не пойму, где тут то, о чём я говорил.

А вот это уже упражнение вам для самостоятельного доказательства.

"На пальцах": отношение $':N \to N$ задаёт между элементами множества какие-то "стрелочки"; утверждение $(\forall m,n \in N) (m' = n' \to m=n)$ означает, что "стрелочки" нигде не "склеиваются", а утверждение $(\forall m,n \in N) (m = n \to m'=n')$ - что "стрелочки" нигде не "разветвляются".

[svv]

iifat в сообщении #986013 писал(а):

Ну, вообще-то, помнится где-то в формальной логике (Мендельсон, по моему, только подробностей не спрашивайте) возможность подстановки оговаривалась отдельно.

Да, я как раз и хотел намекнуть, что без подобной возможности буквально ни шагу нельзя сделать.

[Mitrius_Math]

svv в сообщении #986005 писал(а):

Объясните, что значит $m=n$?

На языке второго порядка: $x=y \Leftrightarrow (\forall P) (P(x) \leftrightarrow P(y))$.

svv в сообщении #986005 писал(а):

Раз $X=Y$, я в определение отображения вместо $Y$ подставлю $X$ и получу свойство, которому удовлетворяет унарная операция. А именно, унарная операция — это такое отношение, для которого
$(\forall x \in X)((\exists y \in X)((x,y) \in f) \wedge (\forall y_1,y_2 \in X)(((x,y_1) \in f \wedge (x,y_2) \in f ) \to y_1=y_2))$
Вероятно, Вы с этим согласитесь.

А что не так?

-- Чт мар 05, 2015 19:20:56 --

Про отношение равенства я думал...
Хотел задать ещё один вопрос. Кажется, тут тоже нужны аксиомы или теоремы о равенстве.
Пусть $P(n)$ - предикат. Для доказательства истинности высказывания $(\forall n \in N)(P(n)) $, согласно аксиоме индукции, нужно доказать истинность высказываний $P(1)$ и $(\forall n \in N)(P(n) \to P(n+1))$. Первое проверяется непосредственно. Остановлюсь на втором. Пусть, например, $P(n): \ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Обычно истинность высказывания $(\forall n \in N)(P(n) \to P(n+1))$ доказывается так. Предположим, что истинно $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Докажем, что истинно $1+2+...+n+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$. Прибавляя $n+1$ к обеим частям равенства $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$, получаем, что $1+2+...+n+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$. Но разве это рассуждение равносильно доказательству истинности высказывания $(\forall n \in N) \left(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \to 1+2+...+n+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) $?

[Someone]

Mitrius_Math в сообщении #985945 писал(а):

Объясните, пожалуйста, как отсюда следует (и следует ли вообще?) $(\forall m,n \in N) (m = n \to m'=n')$.

Из аксиом равенства.

[AGu]

(Ура!)

Someone в сообщении #986158 писал(а):

Из аксиом равенства.

О, наконец-то, компетентный (и, разумеется, правильный) ответ. А то я уже начал бояться, что эта тема породит какого-нибудь монстра, и нам придется долго и мучительно отрубать ему головы.