дифференциальное уравнение y'=(x+y)/(x-y)

[Мироника]

Требуется решить ДУ
$y'=\frac {x+y} {x-y}$
Я делю числитель и знаменатель дроби на х и решаю как однородное, заменой u=y/x. В ходе решения получаю $\frac {1} {2} \ln \left| u^2+1 \right| - \arctg u = -\ln x +c$.
Как быть дальше? Ведь нужно же выразить u...

[Brukvalub]

Не обязательно. Можно подставить вместо u его выражение через у и считать, что решение уже получено в виде неявной функции.

[V.V.]

Ну и подставьте $u=y/x$ в полученное выражение.

[Мироника]

Тогда получается $\frac {1} {2} \ln \left| \frac {y^2} {x^2}+1 \right| - \arctg \frac {y} {x} = -\ln x +c$
Максимум что удалось упростить это $ \ln \left| y^2+x^2 \right| -2 \arctg \frac {y} {x} = 2c$
Можно так и оставить?

[Brukvalub]

Можно (писать просто "Да" мне Алексей К. не велит)

[Мироника]

Спасибо

[AD]

Тема, конечно, уже себя исчерпала, но

Мироника писал(а):

Максимум что удалось упростить это $ \ln \left| y^2+x^2 \right| -2 \arctg \frac {y} {x} = 2c$

чё-то мне это полярные координаты напоминает.

$\ln r-\varphi=C$
$r=Ce^\varphi$, $C>0$
Логарифмическая спиралька вышла, да?
Представляете, как отсюда $y$ через $x$ выразить?

Да, кстати, зачем вам под логарифмом модуль? И зачем произвольную константу на 2 умножать - она же произвольная?

[Мироника]

AD писал(а):

Логарифмическая спиралька вышла, да?

Дя, похоже на то

AD писал(а):

Да, кстати, зачем вам под логарифмом модуль? И зачем произвольную константу на 2 умножать - она же произвольная?

Требуют обосновывать каждый шаг, поэтому не хочу лишний раз пояснять, что сумма квадратов неотрицательна и модуль можно опустить, да и с константой тогда надо по крайней мере писать что то типа $c_0$ и $c_1$. Ведь ошибки нет и вряд ли преподаватель будет к этому придираться. Спасибо за замечания, они бывают очень полезны

[Алексей К.]

Да!

[Someone]

Мироника писал(а):

Ведь ошибки нет и вряд ли преподаватель будет к этому придираться. Спасибо за замечания, они бывают очень полезны :wink:

Мироника писал(а):

Тогда получается $\frac {1} {2} \ln \left| \frac {y^2} {x^2}+1 \right| - \arctg \frac {y} {x} = -\ln x +c$

Тогда может и придраться. Потому что должно быть $\ldots=-\ln|x|+c$.

[Мироника]

Someone писал(а):

Мироника писал(а):
Тогда получается $\frac {1} {2} \ln \left| \frac {y^2} {x^2}+1 \right| - \arctg \frac {y} {x} = -\ln x +c$


Тогда может и придраться. Потому что должно быть $\ldots=-\ln|x|+c$.

Ой, спасибо... В работе то, конечно, модуль писала, а здесь пропустила...