2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 дифференциальное уравнение y'=(x+y)/(x-y)
Сообщение29.01.2008, 19:46 
Аватара пользователя
Требуется решить ДУ
$y'=\frac {x+y} {x-y}$
Я делю числитель и знаменатель дроби на х и решаю как однородное, заменой u=y/x. В ходе решения получаю $\frac {1} {2} \ln \left| u^2+1 \right| - \arctg u = -\ln x +c$.
Как быть дальше? Ведь нужно же выразить u...

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 19:53 
Аватара пользователя
Не обязательно. Можно подставить вместо u его выражение через у и считать, что решение уже получено в виде неявной функции.

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 20:02 
Ну и подставьте $u=y/x$ в полученное выражение.

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 20:07 
Аватара пользователя
Тогда получается $\frac {1} {2} \ln \left| \frac {y^2} {x^2}+1 \right| - \arctg \frac {y} {x} = -\ln x +c$
Максимум что удалось упростить это $ \ln \left| y^2+x^2 \right| -2 \arctg \frac {y} {x} = 2c$
Можно так и оставить?

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 20:08 
Аватара пользователя
Можно (писать просто "Да" мне Алексей К. не велит) :D

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 20:10 
Аватара пользователя
:lol:
Спасибо :D

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 21:02 
Тема, конечно, уже себя исчерпала, но

Мироника писал(а):
Максимум что удалось упростить это $ \ln \left| y^2+x^2 \right| -2 \arctg \frac {y} {x} = 2c$
чё-то мне это полярные координаты напоминает.

$\ln r-\varphi=C$
$r=Ce^\varphi$, $C>0$
Логарифмическая спиралька вышла, да? :D
Представляете, как отсюда $y$ через $x$ выразить?

Да, кстати, зачем вам под логарифмом модуль? И зачем произвольную константу на 2 умножать - она же произвольная?

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 21:19 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Логарифмическая спиралька вышла, да? :D

Дя, похоже на то

AD писал(а):
Да, кстати, зачем вам под логарифмом модуль? И зачем произвольную константу на 2 умножать - она же произвольная?

Требуют обосновывать каждый шаг, поэтому не хочу лишний раз пояснять, что сумма квадратов неотрицательна и модуль можно опустить, да и с константой тогда надо по крайней мере писать что то типа $c_0$ и $c_1$. Ведь ошибки нет и вряд ли преподаватель будет к этому придираться. Спасибо за замечания, они бывают очень полезны :wink:

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 22:06 
Да!

 
 
 
 
Сообщение29.01.2008, 22:37 
Аватара пользователя
Мироника писал(а):
Ведь ошибки нет и вряд ли преподаватель будет к этому придираться. Спасибо за замечания, они бывают очень полезны :wink:


Мироника писал(а):
Тогда получается $\frac {1} {2} \ln \left| \frac {y^2} {x^2}+1 \right| - \arctg \frac {y} {x} = -\ln x +c$


Тогда может и придраться. Потому что должно быть $\ldots=-\ln|x|+c$.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2008, 16:11 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
Мироника писал(а):
Тогда получается $\frac {1} {2} \ln \left| \frac {y^2} {x^2}+1 \right| - \arctg \frac {y} {x} = -\ln x +c$


Тогда может и придраться. Потому что должно быть $\ldots=-\ln|x|+c$.


Ой, спасибо... В работе то, конечно, модуль писала, а здесь пропустила...

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group