Термодинамика

[Oct]

Не подскажите, как можно решить (или начать решать) задачу:

Цитата:

С идеальным одноатомным газом совершается циклический процесс, изображенный на рисунке. Отношение максимального объема газа к минимальному в этом цикле равно $ n = 3 $. Найти коэффициент полезного действия цикла $ \eta $

Я так понимаю, что
$ \frac{p_3}{p_1} = \frac{V_3}{V_1} = 3 $
И судя по рисунку
$ \frac{p_2}{p_1} = \frac{V_3}{V_2} = 3 $

$ A = \frac{(p_2 - p_1)(V_3 - V_2)}{2} $

Отсюда
$ A = 2 p_2 V_2 $

Но дальше никаких мыслей, к сожалению.

Заранее спасибо

[Парджеттер]

Предлагаю вспомнить, что такое к.п.д. Потому что вам до ответа рукой подать.

А почему вы решили, что $\frac{p_3}{p_1}=3$? У вас цикл не изотермический. Но я так понимаю, это вы из геометрии взяли. Результат-то правильный - важно его происхождение.

[Oct]

Парджеттер писал(а):

Предлагаю вспомнить, что такое к.п.д.

$ \eta = \frac{A}{Q_1} $, где A - работа, совершенная телом, а $ Q_1 $ - кол-во теплоты, сообщенное нагреваталем телу.

Цитата:

Рабочее тело - газ или пар - при расширении совершает работу, получая от нагревателя некоторое количество теплоты $ Q_1 $

Получается это тепло газ получает на участке 2-3?

Парджеттер писал(а):

А почему вы решили, что $\frac{p_3}{p_1}=3$?

Стыдно сказать почему.

Парджеттер писал(а):

У вас цикл не изотермический.

Действительно.

[Парджеттер]

Oct писал(а):

$ \eta = \frac{A}{Q_1} $, где A - работа, совершенная телом, а $ Q_1 $ - кол-во теплоты, сообщенное нагреваталем телу.

Верно. Осталось посчитать это самое $Q_1$.

Oct писал(а):

Получается это тепло газ получает на участке 2-3?

Да. И работу совершает и тепло получает он на участке 2-3. Но на 1-2 температура растет, следовательно, для этого тоже нужно получить тепло. А вот работы там газ не совершает.

Oct писал(а):

Стыдно сказать почему.

Почему же?

[Oct]

Парджеттер писал(а):

Осталось посчитать это самое $Q_1$

С этим проблемы...Каким образом его подсчитать можно? Так мало исходных данных вроде бы.

Парджеттер писал(а):

Почему же?

Не знаю точно почему стыдно. Не хочется показаться совсем глупым, наверное. Отчасти потому, что сам я на людей глупее меня нередко раздражаюсь...

[Парджеттер]

Oct писал(а):

С этим проблемы...Каким образом его подсчитать можно? Так мало исходных данных вроде бы.

Ну давайте вернемся к графику. Каков физический смысл площади под кривой $p(V)$?

Парджеттер писал(а):

Не знаю точно почему стыдно. Не хочется показаться совсем глупым, наверное. Отчасти потому, что сам я на людей глупее меня нередко раздражаюсь...

Я имел в виду, что у вас треугольники $0-1-V_0$ и $0-3-(nV_0)$ подобны. И из этого можно вытащить ваше отношение давлений.
У вас такая задачка-то, честно сказать, вся на геометрию. Физики тут мало.

[Oct]

Парджеттер писал(а):

Каков физический смысл площади под кривой $p(V)$?

Работа газа.

[Парджеттер]

Oct писал(а):

Парджеттер писал(а):

Каков физический смысл площади под кривой $p(V)$?

Работа газа.

А что такое площадь треугольника 1-2-3 и площадь квадрата $V_0-2-3-nV_0$ ?

[Oct]

Вы меня запутали %) По идее, площадь 1-2-3 и есть работа расширения газа, а квадрат ... Не знаю.
Могу сказать, что это как тыкать пальцем в небо

$ p_2 = 3 p_1 $
$ V_3 = 3 V_2 $
$ A = \frac{1}{2} (p_2 - p_1) (V_3 - V_2) $

$ A = \frac{1}{2} (3 p_1 - p_1) (3 V_2 - V_2) $
$ A = 2 p_1 V_2 $
$ A = \frac{2}{3} p_2 V_2 $ ?

$ \eta = \frac{A}{U_23 + A} $
$ \eta = \frac{\frac{2}{3}\nu R T_2}{\frac{3}{2}\nu R (T_3 - T_2) + \frac{2}{3}\nu R T_2} $

$ T_3 = 3 T_2 $ ?

$ \eta = \frac{\frac{2}{3}\nu R T_2}{3 \nu R T_2 + \frac{2}{3}\nu R T_2} $
$ \eta = \frac{\frac{2}{3}}{3 + \frac{2}{3}} $
$ \eta = \frac{2}{11} $

Что не так?..

[Парджеттер]

Oct писал(а):

Вы меня запутали %) По идее, площадь 1-2-3 и есть работа расширения газа, а квадрат ... Не знаю.
Могу сказать, что это как тыкать пальцем в небо

У цикла есть два хода - прямой и обратный, правильно? В результате прямого мы энергию затрачиваем. А в результате обратного - получаем (и теряем). Прямой ход будет в вашем случае 1-2-3, а обратный 3-1. Чему равна площадь под кривой (точнее прямой) для прямого хода (точнее, что это за работа) и чему равна площадь под кривой для обратного хода (3-1)? А затем их мистическое вычитание друг из друга дает фактически работу за цикл, которую вы и получили.

[Oct]

Цитата:

У цикла есть два хода - прямой и обратный, правильно? В результате прямого мы энергию затрачиваем. А в результате обратного - получаем (и теряем). Прямой ход будет в вашем случае 1-2-3, а обратный 3-1. Чему равна площадь под кривой (точнее прямой) для прямого хода (точнее, что это за работа) и чему равна площадь под кривой для обратного хода (3-1)?

Поздравьте меня - я, кажется, всё понял Закончу завтра.
Огромное спасибо.

[Парджеттер]

Oct писал(а):

$ \eta = \frac{A}{U_23 + A} $
$ \eta = \frac{\frac{2}{3}\nu R T_2}{\frac{3}{2}\nu R (T_3 - T_2) + \frac{2}{3}\nu R T_2} $

$ T_3 = 3 T_2 $ ?

$ \eta = \frac{\frac{2}{3}\nu R T_2}{3 \nu R T_2 + \frac{2}{3}\nu R T_2} $
$ \eta = \frac{\frac{2}{3}}{3 + \frac{2}{3}} $
$ \eta = \frac{2}{11} $

Что не так?..

Ну если более правильно делать и подходить формалистски, то тогда
На участке 1-2 подведенная теплота $Q_{12}=C_v (T_2-T_1)$.
На участке 2-3 подведенная теплота $Q_{23}=C_p (T_3-T_2)$.
Тогда полная подведенная теплота будет $Q_{\Pi}=Q_{12}+Q_{23}$.
А соотношения между температурами надо вытаскивать из ваших изо-процессов.
Да и то, что газ одноатомный вам не просто так сообщили - надо определить теплоемкости из этого условия.

А у вас результат несколько другой получается, по-моему, потому, что вы весьма своеобразно записали выражение для к.п.д.

[Oct]

Спасибо Единственное, что забыл, что n не нужно сразу подставлять. Нужна же формула в общем виде.

$ \frac{n - 1}{3 + 5n} $