Какая линия задана уравнением?

[Nurzery[Rhymes]]

Где-то возникла ошибка при решении задачи из Евграфова. Условие: выяснить, какие линии на плоскости записаны уравнением $\operatorname{Re}\frac{z-1}{z+1}=0$

Решение. Пусть $z=x+iy$.

$\frac{z-1}{z+1}=\frac{z+1-2}{z+1}=1-\frac{2}{z+1}=1-\frac{2}{(x+1)+iy} = (x+1) + iy -2 = x-1+iy$

$\operatorname{Re} (x-1+iy) = 0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$

Действительная часть по формуле должна равняться $x-1$, но при подстановке числа $z=5+7i$ она равняется $\frac{75}{83}$.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #984049 писал(а):

$\dots1-\frac{2}{(x+1)+iy} = (x+1) + iy -2 = \dots$

Вот это место поподробнее, пжлст.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #984055 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #984049 писал(а):

$\dots1-\frac{2}{(x+1)+iy} = (x+1) + iy -2 = \dots$

Вот это место поподробнее, пжлст.

Домножил на знаменатель дроби.
Ой, кажется, я записал здесь, что $1-\frac{1}{4} = 4-1$...
Тогда какое преобразование применить в этом месте?

[ИСН]

Любое эквивалентное. А таких, которые меняют одни вещи на другие, точно не надо.

[Nurzery[Rhymes]]

С того места я продолжил решение так:

$\frac{(x+1)+iy}{(x+1)+iy}-\frac{2}{(x+1)+iy}=\frac{x-1+iy}{x+1+iy}$

Вернулся к тому, с чего началась задача...

Домножил последнюю дробь на число, сопряженное со знаменателем:

$\frac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)} = \frac{x^2 - 1 + 2iy + y^2}{(x+1)^2 + y^2}$

[ИСН]

Каким образом осуществляется деление комплексных чисел? Как определён и определён ли вообще результат арифметической операции $1\over1+i$, например?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #984068 писал(а):

Каким образом осуществляется деление комплексных чисел? Как определён и определён ли вообще результат арифметической операции $1\over1+i$, например?

Как умножение на симметричный элемент поля.

[ИСН]

Ну.

[Nurzery[Rhymes]]

Похоже, что осталось только выделить полный квадрат в знаменателе, но почему-то делать этого не хочется - вряд ли там лишнее красиво сократится и получится какая-нибудь окружность... Хотя там даже полный квадрат не выделить.
Тьфу, блин, по условию ведь эта дробь равна нулю, значит, достаточно просто рассмотреть числитель.
Это единичная окружность. Точку $(-1;0)$ надо выколоть из нее?

[ex-math]

Не знаю, что хотел Евграфов. Может и такого простого упражнения на арифметику в $\mathbb{C}$.
Но все равно советую ознакомиться с дробно-линейными отображениями (круговое свойство, симметричные точки и т.п.). Тогда описать эту линию Вы сможете в уме, не проводя никаких преобразований.

[Nurzery[Rhymes]]

ex-math в сообщении #984096 писал(а):

Не знаю, что хотел Евграфов. Может и такого простого упражнения на арифметику в $\mathbb{C}$.
Но все равно советую ознакомиться с дробно-линейными отображениями (круговое свойство, симметричные точки и т.п.). Тогда описать эту линию Вы сможете в уме, не проводя никаких преобразований.

Классно, мне нравится делать построение в уме вместо унылого выведения формул. Что почитать посоветуете?

[ex-math]

В любом учебнике по ТФКП довольно много места отводится дробно-линейным отображениям. Например, Привалов или Маркушевич.