Двугранный угол.

[dovlato]

Двугранный угол образован двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, пересекающимися по горизонтальной прямой.
Углы между плоскостями и вертикальной прямой равны $\alpha,\quad\beta$; ($\alpha+\beta=\pi/2$)
Из некоторой точки А отпускается свободно падать маленький шарик, который может абсолютно упруго отскакивать от плоскостей.
Трения нет. Найти множество точек А, для которых движение шарика периодично.

[Oleg Zubelevich]

это жестоко

[dovlato]

Не-а)). Правда. Жестоко было бы, если этот угол не был бы прямым. В смысле - я не знаю, как бы тогда следовало его решать).
А тут, не напрягаясь, задачу можно обобщить на трёхгранный (прямоугольный !) угол.
И есть подозрение, что обобщение распространяется на евклидово пространство любой размерности.

[Xey]

Траектория шарика отличается от хода луча в уголковом отражателе. На участке между гранями шарик летит не по прямой , а по параболе и точка отскока постепенно приближается к ребру. Да и отскок будет не по вертикали.

[dovlato]

Я перешёл в СО, оси которой параллельны плоскостям и перпендикулярны ребру угла.

[arseniiv]

Осталось перестать отражать шарик, вместо него отразив $\vec g$ в каждом квадранте.

(Оффтоп)

Mathematica лиссажуподобные штуки из кусков парабол мне рисует, намекая на что-то.

P. S. В системе хаос, я правильно угадываю?

[dovlato]

Если честно, я растерян. Опасался, вдругорядь строгий Мунин с брюзжанием отправит к чертям - за очевидность))..
Нет, ну правда, коллеги. Рассмотрите двумерное движение в упомянутой выше повёрнутой системе отсчёта (СО);
то есть - расстояния от мат. точки до каждой плоскости как ф-ций времени (!!!).

[Oleg Zubelevich]

arseniiv в сообщении #983558 писал(а):

системе хаос, я правильно угадываю?

во всяком случае система с двумя степенями свободы и дополнительного первого интеграла, кроме интеграла энергии вроде не наблюдается так навскидку

[sup]

Задача распадается на две одномерные или мне так кажется?
Вот и ТС пишет

dovlato в сообщении #983534 писал(а):

Я перешёл в СО, оси которой параллельны плоскостям и перпендикулярны ребру угла.

[Oleg Zubelevich]

и что, Вы можете еще один первый интеграл предъявить?

[sup]

В повернутой системе координат движение имеет вид
$\ddot x = g_1$
$\ddot y = g_2$
Считаем периоды и требуем их соизмеримость.

[Oleg Zubelevich]

ну это тут вроде уже давно все сообразили, а какое это имеет отношение к тому, что сказал arseniiv
и я?

-- Сб фев 28, 2015 16:00:28 --

Вы еще ударные реакции забыли в уравнения добавить

[sup]

Издержки формы общения.
Я имел в виду одно. Вы другое.

sup в сообщении #983685 писал(а):

Задача распадается на две одномерные или мне так кажется?

Oleg Zubelevich в сообщении #983701 писал(а):

и что, Вы можете еще один первый интеграл предъявить?

Про хаос я ничего не утверждал и не утверждаю.

[Oleg Zubelevich]

Задача: доказать, что система не является эргодичной, найти два первых интеграла

-- Сб фев 28, 2015 16:38:37 --

можно даже сказать, что она интегрируема по Лиувиллю

[arseniiv]

(Оффтоп)

sup в сообщении #983712 писал(а):

Считаем периоды и требуем их соизмеримость.

Ой, как просто всё оказалось! (А я как-то странно не заметил, хотя в коде для M. всё было отдельно, да и «лиссажуподобность» сразу должна была намекнуть.)