Деление многочлена на множество многочленов

[Nurzery[Rhymes]]

Для многочленов $f, g_1, ..., g_2 \in k[X_1, ..., X_n]$ поделить многочлен $f$ на $g_1, ..., g_s$ означает представить $f$ в виде суммы $f=h+r$ двух многочленов $h$ и $r$ из $k[X_1, ..., X_n]$, таких, что $h$ принадлежит идеалу $(g_1, ..., g_n)$ и ни один из членов многочлена $r$ не делится ни на один из старших членов $LT(g_1), ..., LT(g_s)$.

Можете привести живой пример такого деления данного многочлена на множество многочленов или подсказать, где расписан алгоритм такого деления на листе бумаги? На примерах с $f = x^3 + 3x^2 + 1$, $f=x^4 + x$ и $g=x^2 + 1$ я посмотрел, что действительно это утверждение справедливо для деления в кольце $k[X]$. Теперь хочу убедиться, что то же самое верно для кольца нескольких переменных, т.к. при практике это лучше запоминается и устанавливаются нейронные связи в мозгу между теорией (которую просто читать бесполезно) и результатом на бумаге.