Алгебра Ли векторных полей на компакт. односвязн. многообр.

[scwec]

На компактном односвязном гладком многообразии $M^n$ заданы $n$ гладких векторных полей, линейно независимых в каждой точке $M^n$.
Пусть линейные комбинации этих полей с вещественными коэффициентами
образуют алгебру Ли $g^n$ относительно операции коммутирования векторных полей $[,]$.
Докажите, что для любого поля $X\in{g^n}$ найдется пара полей $Y,Z\in{g^n}$ таких, что $X=[Y,Z]$

[Oleg Zubelevich]

а это многообразие $M$ часом группой Ли не является? а векторные поля это левоинвариантные векторные поля

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #980616 писал(а):

а это многообразие часом группой Ли не является? а векторные поля это левоинвариантные векторные поля

Для доказательства, которое имеется в виду, это не обязательно. (Хотя $M^n$ и диффеоморфно несущему многообразию некоторой группы Ли, которое профакторизовано по дискретной подгруппе).

[scwec]

Пусть существует поле $X\in{g^n}$, не являющееся коммутатором двух полей из $g^n$.
Это значит, что коммутант $Dg^n$ не совпадает с $g^n$ и $\dim{Dg^n}<n$. Любое векторное пространство $A^{n-1}$ такое, что $Dg^n\subseteq{A^{n-1}\subset{g^n}$
является идеалом в $g^n$.
Выберем $A^{n-1}$ так, чтобы оно не содержало $X$.
В качестве базиса $g^n$ возьмем линейно-независимые поля $X_1,...,X_{n-1}\in{A^{n-1},X_n=X$.Тогда $[X_i,X_j]=c_{ij}^k{X_k}$ и $c_{ij}^n=0$, $i,j,k=1,...,n$.
Дуальные 1-формы $\omega^1,...,\omega^n$ определим как $\omega^i(X_j)=\delta_j^i$. Они линейно независимы в каждой точке $M^n$ так же, как и поля $X_i$.
Далее, $d\omega^n=-\frac1 2\sum{c_{ij}^n{\omega^i}\wedge\omega^j$, отсюда $d\omega^n=0$, поскольку $c_{ij}^n=0$.
Из односвязности $M^n$ следует, что $\omega^n=dF$ $(F$ - гладкая функция на $M^n)$, а из компактности $M^n$ следует, что на $M^n$ существуют точки экстремума $F$, в которых форма $\omega^n$ обращается в нуль, что противоречит линейной независимости форм $\omega^1,...,\omega^n$ в каждой точке $M^n$. Полученное противоречие доказывает искомое утверждение.