Задача про призму, сечение.

[Don-Don]

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $2$. Высота призмы $\sqrt{17}$. Точка $E$ лежит на диагонали $BD_1$, причем $BE=2$.

Постройте сечение плоскостью $\alpha=A_1C_1E$ и найдите угол между плоскостями $A_1C_1E$ и $ABC$.


Построение сечения. Пусть $L$ точка пересечения диагоналей квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Проведем прямую $LE$, пусть она пересекает плоскость $ABCD$ в точке $F$.

Точка $F$ принадлежит плоскости сечения. Через точку $F$ проводим прямую, параллельную $A_1C_1$, пусть она пересекает $AB$ и $BC$ в точках $G$ и $H$ соответственно.

$A_1GHC_1$ -- искомое сечение. Тогда $LFO$ линейный угол двугранного угла между нужными плоскостями.

$BD_1=5$, заметим, что $BE<0,5BD_1$.

Из подобия треугольников $BEJ$ и $BD_1B_1$ имеем $\dfrac{BD_1}{BE}=\dfrac{B_1D_1}{EJ}$, отсюда $EJ=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$

$IE=IJ-EJ=\sqrt{2}-\dfrac{4\sqrt{2}}{5}=\dfrac{\sqrt{2}}{5}$

$BJ=\dfrac{2BB_1}{5}=\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$

$IL=JB_1=BB_1-BJ=\sqrt{17}-\dfrac{2\sqrt{17}}{5}=\dfrac{3\sqrt{17}}{5}$

Заметим, что $\alpha=\angle (LFO)=\angle (IEL)$

$\tg\alpha=\dfrac{IL}{IE}=\dfrac{3\sqrt{17}}{5}:\dfrac{\sqrt{2}}{5}=\dfrac{3\sqrt{34}}{10}=0,3\sqrt{34}$

$\alpha=\arctg(0,3\sqrt{34})$

Верно ли построено сечение, верен ли посчитано?

[grizzly]

Вот и здесь. Прорисовано красиво, рассуждения аккуратные. Но почему не посмотреть в конце, какой получился угол и не сравнить его с ожидаемым? Вообще, это должен быть очень важный момент в решении задачи -- проверить в конце ответ на правдоподобность.

Вот на глаз -- какой должен получиться примерно угол (хотя бы диапазон, чтобы не привязываться к конкретному рисунку)? А в ответе? Значит, сначала проверяем расчёты на нелепые ошибки, а если не находим, тогда уже копаем логику.

[Don-Don]

grizzly в сообщении #981444 писал(а):

Вот и здесь. Прорисовано красиво, рассуждения аккуратные. Но почему не посмотреть в конце, какой получился угол и не сравнить его с ожидаемым? Вообще, это должен быть очень важный момент в решении задачи -- проверить в конце ответ на правдоподобность.

Вот на глаз -- какой должен получиться примерно угол (хотя бы диапазон, чтобы не привязываться к конкретному рисунку)? А в ответе? Значит, сначала проверяем расчёты на нелепые ошибки, а если не находим, тогда уже копаем логику.

Должно быть 60 градусов примерно, так у меня и вышло.

[grizzly]

Don-Don в сообщении #981461 писал(а):

Должно быть 60 градусов примерно, так у меня и вышло.

Понятно, проблемы с чувством меры и с глазомером. Это легко лечится. Оцените угол $\angle LBO$. Он должен быть больше Ваших 60 градусов или меньше?

[Don-Don]

grizzly в сообщении #981471 писал(а):

Don-Don в сообщении #981461 писал(а):

Должно быть 60 градусов примерно, так у меня и вышло.

Понятно, проблемы с чувством меры и с глазомером. Это легко лечится. Оцените угол $\angle LBO$. Он должен быть больше Ваших 60 градусов или меньше?

Да там нет проблем с глазомером, дело в том, что при построении не соблюдал пропорции, а если они получились верно, это только чисто интуитивно. Разве что положение точки $E$ выбрано не случайно, да и высота призмы чуть больше стороны основания сделано намеренно. Сказав $60$ градусов, я имел ввиду, что явно больше, чем $45$, что связано с тем, что сторона основания меньше высоты. Но насколько этот угол больше $45$ -- мне было сложно сказать. Чисто из рисунка, так там градусов $80$, наверное.
А вот $LBO$ на глаз как раз примерно $60$. А если точно, то $\arctg(\sqrt{8,5})$, то есть $70$ градусов.
Но тангенс искомого угла должен быть заметно больше, быть может, раза в два или более (тангенсы будут относится как $OB:OF$). Если в два раза, то около $80$ градусов. И все же, в чем же ошибка, никак не могу понять.

[grizzly]

Подсказка:

grizzly в сообщении #981444 писал(а):

сначала проверяем расчёты на нелепые ошибки

[Don-Don]

grizzly в сообщении #981613 писал(а):

Подсказка:

grizzly в сообщении #981444 писал(а):

сначала проверяем расчёты на нелепые ошибки

$\tg\alpha=\dfrac{IL}{IE}=\dfrac{3\sqrt{17}}{5}:\dfrac{\sqrt{2}}{5}=\dfrac{3\sqrt{34}}{2}=1,5\sqrt{34}$

$\alpha=\arctg(1,5\sqrt{34})$

Вот так будет верно?

[grizzly]

Да!

[Don-Don]

grizzly в сообщении #981626 писал(а):

Да!

Спасибо!