Расчет сингулярных интегралов в Mathematica 10

[Xaliuss]

Возникла задача расчётов интегралов такого типа:
$\int\limits_{0}^{\pi}\ln\left\lvert T_n(t)\right\rvert dt$
Где $T_n(t)$ тригонометрический полином большой степени (и с большими коэффициентами) с некоторым числом нулей на отрезке, часто включая его границы. Примерное их расположение известно.

Проблема заключается в том, что при $n$ порядка тысяч NIntegrate начинает считать очень долго, и не всегда даёт ответ.
Пробую подбирать параметры примерно таким образом,
PrecisionGoal -> 25, WorkingPrecision -> 200, Method -> \
{"GlobalAdaptive", "SingularityHandler" -> "DoubleExponential"}
иногда добавляя Maxrecursions, но это не всегда помогает, и интегралы часто считаются по полчаса и больше.

Подскажите, какие параметры помогут подсчитать интегралы максимально эффективно (достаточно в принципе 10 гарантированно точных знаков).

[Aritaborian]

Для начала непонятно следующее: зачем выставлять WorkingPrecision -> 200, если вам не нужна такая точность?

[Xaliuss]

Мне нужна итоговая точность в 10 знаков. Значения подынтегральной функции сильно колеблются. Разница в значении коэффициентов как раз все эти 200 знаков и могут накрывать спокойно. Проблема в сингулярностях, где всё сокращается. Там нужна точность очень большая, максимальные коэффициенты полинома ведут себя как $C_{2n}^n$. Хочется как-то указать, на какие места стоит обратить внимание и каким образом.

[Aritaborian]

Почитайте вот это. Авось извлечёте что-то полезное. Я сейчас ещё попробую в справке порыться. Кажись, видел там когда-то что-то этакое.

UPD. В справке нашёл только это.

[Xaliuss]

Aritaborian в сообщении #980463 писал(а):

Почитайте вот это. Авось извлечёте что-то полезное. Я сейчас ещё попробую в справке порыться. Кажись, видел там когда-то что-то этакое.

По ссылке там всё таки другая проблема, там подынтегральная функция известна с очень низкой точностью. Справка мне помогла находить требуемые интегралы в части случаев, но там точно нужна оптимизация.

[Aritaborian]

Xaliuss, на всякий случай посоветую вам также обратиться за помощью в VK-сообщество. Там тусуются отличные специалисты.

[Xaliuss]

Aritaborian, написал. Параметров к NIntegrate очень много, так просто по справке понять какие нужны не выходит.

[Vince Diesel]

Насколько много там нулей и реально ли найти их все с большой точностью? Если не очень много и да, можно попробовать разбить отрезока на интервалы между соседними нулями. Есть еще такой прием: сделать замену, чтобы особенность исчезла. Например, $\int_0^1 \ln x\,dx$ после замены $x=y^2$ становится $4\int_0^1y\ln y\,dy$.

Второй способ: воспользоваться тем, что под логарифмом тригонометрический многочлен. Записать через мнимые экспоненты и разложить на множители. Типа так:

p[y_] = T[x] /. {Cos[a$_. x] -> (y^a$ + y^-a$)/2} // Together
pn[y_] = Numerator@p[y]
pd[y_] = Denominator@p[y]
NSolve[pn[y] == 0, y, WorkingPrecision -> 20]

А потом считать для каждого корня $c_i$ слагаемое $\int_0^\pi\ln|e^{ix}-c_i|\,dx$.

Если многочлен только от косинусов, т.е. разложится по степеням $e^{2ix}$, некоторые интегралы, похоже, будут давать ноль: $\int_0^\pi\ln|e^{2ix}-a|\,dx=\frac12\int_0^{2\pi}\ln|e^{ix}-a|\,dx=0$ при $|a|\le1$. Именно те, что имеют особенность.

[Xaliuss]

Нулей не очень много, считает их долго. В одном важном случае только в 0 и $\pi$. Пробовал разбивать в случае одного промежуточного нуля, кардинально ситуацию не улучшило. Замену так просто сделать в моём случае нельзя.

Второй приём это по сути формула Иенсена. Найти все корни многочлена степени 1000+ (с БОЛЬШИМИ коэффициентами) с нормальной точностью - не вариант. Но с разложением на множители идея, может можно будет найти асимптотику около нулей, и в окрестности них делить на неё.

Интересно есть ли метод, который позволит указать напрямую как считать в окрестности нулей, так как поведение около них предсказуемое.

[Vince Diesel]

Так многочлен по косинусам? И коэффициенты точно заданы (целочисленные)?

Xaliuss в сообщении #980509 писал(а):

Интересно есть ли метод, который позволит указать напрямую как считать в окрестности нулей, так как поведение около них предсказуемое.

Типа $\ln|x-c_i|$? Можно просто вычесть, а интеграл с логарифмом посчитать отдельно.

[Xaliuss]

Есть и по косинусам, есть и по синусам. Коэффициенты целочисленные, но толку от этого если они как $C_{2n}^n$ примерно растут.

Над вычитанием и думаю, только нахождение нулей это тоже не быстрый процесс, необходимо тоже подсказывать как их искать.

[Aritaborian]

Возможно я сейчас глупость скажу, но что, если сначала найти нули, а затем явно их указать, разбивая область на промежутки?

[Xaliuss]

Aritaborian в сообщении #980516 писал(а):

Возможно я сейчас глупость скажу, но что, если сначала найти нули, а затем явно их указать, разбивая область на промежутки?

Этого мало. Делал так. Хотя вроде помогает, но нужно что-то добавить.

Вот так примерно выглядит график логарифма для одного частного случая

[Vince Diesel]

Xaliuss в сообщении #980509 писал(а):

Замену так просто сделать в моём случае нельзя.

Когда только на концах нули, разбить пополам и в каждой половине замену. Если только из-за особенности все тормозит, то должно помочь. Аналогично можно разбивать отрезок между нулями.

Еще можно попробовать изоображать на комплессной плоскости множества нулей для небольших $n$. Мб это что подскажет. Если будут только четные степени $y=e^{i x}$, то остается вклад только тех нулей, которые вне единичного круга. Вдруг их мало, симметрии какие есть или асимптотически куда-то кучкуются.

[Leierkastenmann]

Xaliuss, а можно привести пример кода хотя бы одной функции, которую нужно проинтегрировать и которая долго интегрируется?