Старый парадокс Бернули

[Sinoid]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, правильно ли я рассудил? Была задача найти ошибку в рассуждениях, приводящих к парадоксу Бернулли: $(-z)^{2}=z^{2}$, поэтому $2\, Ln\,(-z)=2\, Ln\, z$, следовательно, $Ln\,(-z)=Ln\, z$. На мой взгляд, ошибка тут закралась в самом начале рассуждений, а именно, исходное равенство я могу записать двояко: $(-z)^{2}=z^{2}\cdot(1)^{2}$ или $(-z)^{2}=z^{2}\cdot(-1)^{2}$, и, значит, $Ln\,(-z)=Ln\, z+2\pi ki$ или $Ln\,(-z)=Ln\, z+(2k+1)\pi i $. Первое равенство я отвергаю, подобно тому как из равенства $(-1)^{2}=(1)^{2}$ я мог бы заключить, что $-1=1$ или $-(-1)=1$ и первое равенство я бы отверг как явно неверное (в бесконечном поле), а из этого бы следовала справедливость второго равенства. Эта аналогия, конечно, приблизительная. Ну и окончательно $Ln\,(-z)=Ln\, z+\pi i$

[provincialka]

Сократить равенство на 2 точно можно. Так что ошибка в самом первом переходе. Выпишите явно, чему равны $\operatorname{Ln}z^2 $ и $2\operatorname{Ln}z$

[Sinoid]

provincialka в сообщении #979838 писал(а):

Так что ошибка в самом первом переходе

Так я это и писал:

Sinoid в сообщении #979836 писал(а):

ошибка тут закралась в самом начале рассуждений

provincialka в сообщении #979838 писал(а):

Выпишите явно, чему равны $\operatorname{Ln}z^2 $ и $2\operatorname{Ln}z$

Это, по-моему, вызовет разрыв рассуждений, ну, не разрыв, просто придется метаться по формулам. Я же написал цельно.

[Red_Herring]

Sinoid
Во-первых $\operatorname{Ln}z$, a ne $\Ln z$.
Во-вторых, provincialka имела в виду какие значения принимают $\operatorname{Ln}z^2$ и $2\operatorname{Ln}z$. Намёк: они разные! Помните речь идёт о многозначной ф-ии!

[Sinoid]

Red_Herring в сообщении #979851 писал(а):

Помните речь идёт о многозначной ф-ии!

Я помню, я ведь везде добавлял $2\pi ki$

[Red_Herring]

Sinoid в сообщении #979949 писал(а):

Я помню, я ведь везде добавлял $2\pi ki$

К чему? В частности распишите с такими добавками $\operatorname{Ln} z^2= \operatorname{Ln} (-z)^2$ и т.д.

[Sinoid]

Red_Herring в сообщении #979851 писал(а):

Намёк: они разные!

Понял: если $z=|z|e^{i\ph}$, то $\operatorname{Ln}z^{2}=ln\,|z^{2}|+2i\phi+2\pi ki$, в то время как $2\operatorname{Ln}z=2(ln\,|z|+i\phi+2\pi ki)$ таким образом, второе лишь подмножество первого и переход неправомерен.

[Sinoid]

Я последний пост написать-то написал, но целостность картины на время пропала. Думал-думал и вот что надумал: формула $\operatorname{Ln}z^{n}=\underset{\mbox{n раз}}{\underbrace{\operatorname{Ln}z+\operatorname{Ln}z+\ldots+\operatorname{Ln}z}} $ при натуральном $n$ остается верной: каждому слагаемому $\operatorname{Ln}z$ соответствует свое от других $k$ не зависящее значение $k$. В то время как формула $\underset{\mbox{n раз}}{\underbrace{\operatorname{Ln}z+\operatorname{Ln}z+\ldots+\operatorname{Ln}z}} =n\operatorname{Ln}z$ уже перестает быть верной, а вот формула $\operatorname{Ln}\dfrac{1}{z\vphantom{b}}=-\operatorname{Ln}z$ по-прежнему остается верной. Я правильно понимаю?

[svv]

Sinoid

Вот формула $\operatorname{Ln}(ab)=\operatorname{Ln} a+\operatorname{Ln} b$.
Справедлива она или нет? Справедлива.
В каком смысле? А в том, что, складывая всевозможные значения $\operatorname{Ln} a$ и всевозможные значения $\operatorname{Ln} b$, мы всегда будем получать какие-то значения $\operatorname{Ln}(ab)$. И любое значение $\operatorname{Ln}(ab)$ можно получить, складывая некоторое значение $\operatorname{Ln} a$ и некоторое значение $\operatorname{Ln} b$.

Теперь берём $a=b=z$, и вдруг эта формула почему-то перестает работать.
На самом деле, в описанном выше смысле формула остается справедливой, но случай $a=b=z$ именно в описанном смысле мы обычно рассматривать не хотим. Осознайте, что действительно не хотим, и догадайтесь, почему. Поймёте всё.

З.Ы. Возможно, Вы это и имели в виду. Ну да ладно, лишним не будет.

[Sinoid]

svv в сообщении #980286 писал(а):

складывая всевозможные значения $\operatorname{Ln} a$ и всевозможные значения $\operatorname{Ln} b$

Именно об этом я и говорил вот тут:

Sinoid в сообщении #980283 писал(а):

каждому слагаемому $\operatorname{Ln}z$ соответствует свое от других $k$ не зависящее значение $k$

svv в сообщении #980286 писал(а):

Осознайте, что действительно не хотим, и догадайтесь, почему

Потому что разные комплексные числа мы обозначаем одним и тем же символом? Ну тогда это вопрос к символике, почему бы не обозначать число $\operatorname{Ln}z=ln|z|+i\phi+2\pi k_{0}i $ скажем, через $\operatorname{Ln}^{[k_0]}z$? Тогда бы не нарушался внешний хрестоматийный вид определения умножения: я вижу справа сумму $n$ одинаковых слагаемых и не могу записать это как произведение! Так и до раздвоения личности недалече

(Оффтоп)

svv в сообщении #980286 писал(а):

З.Ы.

это что, сокращенное забыл?

[svv]

З.Ы. — это то, что получится, если напечатать P.S. (post scriptum), забыв переключить клавиатуру на латиницу.

Потому что если $a$ и $b$ совпадают, появляется искушение (и во многих случаях правильное) не рассматривать значения их комплексного логарифма независимо, а брать для них одно и то же значение. Но как только мы это делаем, мы теряем половину значений суммы логарифмов. Теперь значения суммы идут уже не через $2\pi i$, а через $4\pi i$, а чтобы перещелкнуть значение $\operatorname{Ln} z+\operatorname{Ln} z$ только на $2\pi i$, надо «расцепить» слагаемые, чего мы не хотим.

Да, Вы сказали если не это, то нечто очень близкое.

[ex-math]

Sinoid писал(а):

Ну тогда это вопрос к символике, почему бы не обозначать число $\operatorname{Ln}z=ln|z|+i\phi+2\pi k_{0}i $ скажем, через $\operatorname{Ln}^{[k_0]}z$?

Тогда будет другая проблема -- при непрерывном изменении $z $ Вы будете перескакивать с одного $k_0$ на другое.

[Sinoid]

ex-math в сообщении #980408 писал(а):

при непрерывном изменении $z $ Вы будете перескакивать с одного $k_0$ на другое.

И в чем проблема? На изменение $k$ так и так не наложено никакого условия.

svv в сообщении #980357 писал(а):

чего мы не хотим.

Да почему не хотим-то? Просто когда

svv в сообщении #980357 писал(а):

$a$ и $b$ совпадают

писать в обозначениях

Sinoid в сообщении #980343 писал(а):

$\operatorname{Ln}^{[k_0]}z$

одинаковые $k$.

[ex-math]

Sinoid в сообщении #980514 писал(а):

И в чем проблема?

Проблема в том, что мы получим разрывную функцию вместо хорошей. Пока $z$ фиксировано это не важно.

[Sinoid]

Что-то пока не догоняю, может, еще практики мало. Вы бы не могли написать формулами. На всякий случай еще поясню, что здесь

Sinoid в сообщении #980343 писал(а):

$\operatorname{Ln}z=ln|z|+i\phi+2\pi k_{0}i $ скажем, через $\operatorname{Ln}^{[k_0]}z$

я $k_{0}$ зафиксировал лишь временно, потом-то я ее отпустил и оно стало полноправным произвольным целым числом.