Механические колебания

[DaniilK]

На гладкий горизонтальный стержень $AB$ надета небольшая муфточка массы $m$, которая соединена с концом $A$ стержня легкой пружиной жесткости $\kappa$. Стержень вращают с постоянной угловой скоростью $\omega_{0}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $A$. Найти частоту $\omega$ малых колебаний муфточки.

На муфточку будут действовать сила тяжести $mg$ и сила Кариолиса $F_{k}$, которые будут уравновешиваться силами реакции со стороны стержня. (Вопрос 1. Не будет ли сила Кариолиса изменять угловую скорость вращения стержня, то замедляя ее, то ускоряя, ведь, сила Кариолиса $F_{k}=2mv\omega_{0}$ зависит от расстояния от точки $A$ до муфточки, а муфточка совершает малые колебания вблизи точки O? Или ввиду того, что колебания маленькие мы этого не учитываем?)

Также на муфточку будет действовать центробежная сила инерции $F_{цб}=m\omega_{0}^2x$ и упругая сила $F=-\kappa x$. Процесс колебания, вроде, понятен.

Запишем Второй закон Ньютона в проекциях на ось $OX$, направленную вдоль стержня от оси вращения:
$m\ddot{x}=m\omega_{0}^2(x_{0}+x)-\kappa x$.
Разделим на $m$: $\ddot{x}-\omega_{0}^2(x_{0}+x)+x\frac{\kappa}{m}=0$ или $\ddot{x}-\omega_{0}^2x_{0}+x(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)=0$ (Е). Очень похоже на уравнение гармонического осциллятора, но мешает $-\omega_{0}^2x_{0}$. Вопрос 2. Подскажите, пожалуйста, что делать дальше?
Я думаю, что так: когда муфточка проходит положение равновесия сила упругости равна нулю $-\kappa x_{0}=m\omega_{0}^2x_{0}=0$ $\Rightarrow$ $-\omega_{0}^2x_{0}=0$ и ур-ние (Е) принимает вид:
$\ddot{x}+x(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)=0$, откуда, $\omega=\sqrt{(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)}$. Правильно?
Картинка к задаче:

[svv]

DaniilK в сообщении #980334 писал(а):

На муфточку будут действовать сила тяжести $mg$ и сила Кариолиса $F_{k}$, которые будут уравновешиваться силами реакции со стороны стержня. (Вопрос 1. Не будет ли сила Кариолиса изменять угловую скорость вращения стержня, то замедляя ее, то ускоряя, ведь, сила Кариолиса $F_{k}=2mv\omega_{0}$ зависит от расстояния от точки $A$ до муфточки, а муфточка совершает малые колебания вблизи точки O? Или ввиду того, что колебания маленькие мы этого не учитываем?)

(Пишите, пожалуйста, «сила Кориолиса», через букву «о».)

Да, сила Кориолиса стремится изменить угловую скорость $\omega_0$. Когда муфточка удаляется от оси, она пытается замедлить вращение системы, а когда приближается — ускорить. Но... у неё ничего не получается. Дело не в малых колебаниях, а в том, что по условию $\omega_0$ задана. Это идеализация. Это можно истолковать так, что за вращением системы стоит нечто настолько могучее, что ему эта муфточка нипочём. Это всё равно что я еду в поезде, и мне хочется добиться неравномерности движения, я начинаю раскачиваться в вагоне взад-вперёд, но поезду всё равно.

Кроме того, даже зная соответствующий момент силы, и желая учесть это явление, мы не имеем данных, которые позволили бы пересчитать это в изменение угловой скорости. (Например, если вращение контролируется компьютерной системой управления, угловая скорость может слегка меняться даже «не в ту сторону»).

[Sergey from Sydney]

DaniilK в сообщении #980334 писал(а):

Я думаю, что так: когда муфточка проходит положение равновесия сила упругости равна нулю $-\kappa x_{0}=m\omega_{0}^2x_{0}=0$ $\Rightarrow$ $-\omega_{0}^2x_{0}=0$

Эти произведения не могут быть равны нулю, поскольку ни один из их сомножителей не равен нулю. Независимо от положения муфточки. Вы перепутали $x_0$ и $x$.

Цитата:

на муфточку будет действовать центробежная сила инерции $F_\text{цб}=m\omega_{0}^2x$

$F_\text{цб}=m\omega_{0}^2(x_{0}+x)$. В уравнении вы используете именно это выражение для центробежной силы.

Цитата:

Вопрос 2. Подскажите, пожалуйста, что делать дальше?

Общее решение неоднородного линейного уравнения равно общему решению однородного плюс частное решение неоднородного.

В вашем случае можно проще: перенесите $-\omega_{0}^2x_{0}$ в правую часть и используйте замену переменных $x=y+a$, где $a$ - такое, чтобы в правой части уравнения после замены получился нуль.

Цитата:

$\omega=\sqrt{(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)}$. Правильно?

Правильно, хотя ваши рассуждения и неверны. Это потому что правая часть неоднородного уравнения постоянна.

Кстати, подумайте, что будет, когда $\omega_{0}^2>\frac{\kappa}{m}$.

[DaniilK]

Цитата:

В вашем случае можно проще: перенесите $-\omega_{0}^2x_{0}$ в правую часть и используйте замену переменных $x=y+a$, где $a$ - такое, чтобы в правой части уравнения после замены получился нуль.

Делаем замену, $x=y+\omega_{0}^2x_{0}/(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)$
Получаем, $\ddot{y}+y(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)=0$. Что будет описывать это уравнение? Те же самые колебания, только в смещенной на $\omega_{0}^2x_{0}/(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)$ системе отсчета?

-- 21.02.2015, 01:01 --

Цитата:

Кстати, подумайте, что будет, когда $\omega_{0}^2>\frac{\kappa}{m}$.

Пружина порвется? Поясните, пожалуйста.

[svv]

DaniilK в сообщении #980589 писал(а):

Получаем, $\ddot{y}+y(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)=0$. Что будет описывать это уравнение? Те же самые колебания, только в смещенной на $\omega_{0}^2x_{0}/(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)$ системе отсчета?

Да. $x_0$ — это положение равновесия муфточки при условии, что стержень не вращается. Если же стержень вращается (но не слишком быстро, $\omega_0^2<\frac k m$), точка равновесия удаляется от оси ещё на $\omega_{0}^2x_{0}/(\frac{\kappa}{m}-\omega_{0}^2)$. А $y$ — это смещение муфточки относительно нового положения равновесия, «вращательного». Поэтому уравнение и имеет такой простой вид.

-- Пт фев 20, 2015 20:19:17 --

DaniilK в сообщении #980589 писал(а):

Пружина порвется? Поясните, пожалуйста.

Не порвется (наша идеальная пружина не рвется). Но ни при каком удалении $x_0+x$ муфточки от оси упругая сила $-kx$ не сможет уравновесить центробежную силу $m\omega_0^2 (x_0+x)$, так как последняя растёт быстрее.

[DaniilK]

svv, Sergey from Sydney, Спасибо

[svv]

Интересный момент. Если в случае $\omega_0^2>\frac k m$ попытаться найти положение равновесия, формула выдаст отрицательное расстояние от оси. И у этого ответа есть некоторый смысл.

А именно, муфточка может находиться в равновесии, если в такой конструкции (рисунок слева) перебросить её по другую сторону от оси вращения (рисунок справа). Правда, это равновесие неустойчиво.

[Skeptic]

Никаких колебаний не будет.